Vectơ $overrightarrow u $ được hotline là vectơchỉ phương của mặt đường thẳng $Delta $ nếu như $overrightarrow u e overrightarrow 0 $ và giá của $overrightarrow u $ tuy vậy song hoặc trùng với$Delta $.

Bạn đang xem: Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương

Nhận xét

-Nếu $overrightarrowu $ là một trong những vectơ chỉ phương của con đường thẳng$Delta $thì $koverrightarrow u left( k e 0 ight)$ cũng là một vectơ chỉ phương của$Delta $. Vì thế một đường thẳng tất cả vô số vectơchỉ phương.

-Một con đường thẳng trọn vẹn được xác minh nếu biết một điểm và một vectơ chỉphương của mặt đường thẳng đó.

2. Phương trình thông số của đường thẳng

Định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy đến đường thẳng$Delta $đi quađiểm $M_0left( x_0;y_0 ight)$ và nhận $overrightarrow u =left( u_1;u_2 ight)$ làm cho vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x ; y)bất kì trong khía cạnh phẳng, ta có $overrightarrow MM_0 = left( x -x_0;y - y_0 ight)$. Lúc ấy $M in Delta Leftrightarrowoverrightarrow MM_0 $ cùng phương với $overrightarrow uLeftrightarrow overrightarrow MM_0 = toverrightarrow u $.

$ Leftrightarrow left{ eginarray*20l x - x_0 = tu_1 \ y - y_0 = tu_2 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarray*20l x = x_0 + tu_1 \ y = y_0 + tu_2 endarray ight.left( 1 ight)$

Hệ phương trình (1) được call là phương trình tham số của con đường thẳng$Delta $,trong đó ttham số.

Cho tmột giá bán trị ví dụ thì ta xác minh được một điểm trê tuyến phố thẳng$Delta $.

*

3. Vectơ pháp tuyến đường của mặt đường thẳng

Định nghĩa

Vectơ $overrightarrow n $ được gọi là vectơ pháp tuyến đường của con đường thẳng$Delta $ ví như $overrightarrow n e 0$ và $overrightarrow n $ vuông góc với vectơ chỉ phương của$Delta $.

Nhận xét

Nếu $overrightarrow n $ là 1 trong vectơ pháp đường của con đường thẳng$Delta $ thì $koverrightarrow n left( k e 0 ight)$ cũnglà một vectơ pháp đường của$Delta $. Vì vậy một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

Một con đường thẳng trọn vẹn được khẳng định nếubiết một điểm và một vectơ pháp con đường của nó.

4. Phương trình bao quát của đưòng thẳng

Trong khía cạnh phẳng toạ độ Oxy đến đường trực tiếp $Delta $đi qua điểm $M_0left( x_0;y_0 ight)$ với nhận$overrightarrow n left( a;b ight)$ làm vectơ pháp tuyến.

Với từng điểm M(x ; y) bất kỳ thuộc phương diện phẳng, ta có: $overrightarrow MM_0 = left( x - x_0;y - y_0 ight)$.

Khi đó:

$eginarray*20l Mleft( x;y ight) in Delta Leftrightarrow vec n ot overrightarrow MM_0 \ Leftrightarrow aleft( x - x_0 ight) + bleft( y - y_0 ight) = 0 \ Leftrightarrow ax + by + left( - ax_0 - by_0 ight) = 0 \ Leftrightarrow ax + by + c = 0 endarray$

Với $c = - ax_0 - by_0$.

*

Định nghĩa

Phương trình ax + by + c =0 với a b không đồng thời bằng 0, được điện thoại tư vấn là phương trình tổng quát của con đường thẳng.

Nhận xét

Nếu con đường thẳng$Delta $có phương trình là ax + by + c = 0 thì$Delta $có vectơ pháp tuyếnlà $overrightarrow n = left( a;b ight)$ và gồm vectơ chỉ phương là $overrightarrow u = left( - b;a ight)$.

* những trường hợp quánh biệt

Cho con đường thẳng $Delta $có phương trình bao quát ax + by + c = 0 (1)

a) nếu như a= 0 phương trình (1) biến by + c= 0 hay $y = - fraccb$.

Khi đó con đường thẳng $Delta $vuông góc với trục Oy tại điểm $left( 0; - fraccb ight)$.

*

b) Nếub = 0 phương trình (1) biến hóa ax +c = 0 hay $x = - fracca$.

Khi đó đường thẳng $Delta $vuông góc cùng với trục Ox tại điểm $left( - fracca;0 ight)$.

*

c) nếu như c= 0 phương trình (1) trở thành ax +by = 0.

Khi đó mặt đường thẳng $Delta $đi qua cội tọa độ O.

*

d) nếu a,b, c đều khác 0 ta có thể đưa phương trình (1) về dạng $fracxa_0 + fracyb_0 = 1$.

với $a_0 = - fracca,b_0 = - fraccb$. (2). Phương trình này được hotline là phương trình con đường thẳng theo đoạn chắn, đườngthẳng này giảm Ox Oy lần lượt trên $Mleft( a_0;0 ight)$ cùng $Nleft( 0;b_0 ight)$.

*

5. Vị trí tương đối của hai tuyến đường thẳng

Xét hai tuyến đường thẳng $Delta _1$ với $Delta _2$ gồm phương trìnhtổng quát thứu tự là $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ cùng $a_2x + b_2y + c_2 = 0$.

Toạ độ giao điểm của $Delta _1$ và $Delta _2$ là nghiệm của hệphương trình:

$left{ eginarray*20l a_1x + b_1y + c_1 = 0 \ a_2x + b_2y + c_2 = 0 endarray ight.(I)$

Ta có các trường hòa hợp sau:

a) Hệ (I) tất cả một nghiệm $left( x_0;y_0 ight)$, lúc đó$Delta _1$ cắt$Delta _2$ tạiđiểm $M_0left( x_0;y_0 ight)$.

b) Hệ (I) gồm vô số nghiệm, khi ấy $Delta _1$ trùng với$Delta _2$.

Xem thêm: Hàm Số Mũ Là Gì? Định Nghĩa Và Tính Chất Số Mũ Hữu Tỉ Lũy Thừa Với Số Mũ Hữu Tỉ

c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó$Delta _1$ cùng $Delta _2$ ko cóđiểm chung, tuyệt $Delta _1$ song song với $Delta _2$.

6. Góc giữa hai tuyến đường thẳng

Góc giữa hai tuyến đường thẳng $Delta _1$ cùng $Delta _2$ được kí hiệulà $left( widehat Delta _1,Delta _2 ight)$ hoặc $left( Delta _1,Delta _2 ight)$.

Cho hai đường thẳng

$eginarray*20l Delta _1:a_1x + b_1y + c_1 = 0 \ Delta _2:a_2x + b_2y + c_2 = 0 endarray$

Đặt $varphi = left( widehat Delta _1,Delta _2 ight)$ thì ta thấy $varphi$ bởi hoặc bù cùng với góc giữa$overrightarrow n __1$ cùng $overrightarrow n __2$ trong số ấy $overrightarrow n __1$, $overrightarrow n __2$ theo lần lượt là vectơ pháp tuyến của$Delta _1$ cùng $Delta _2$. Vày $cos varphi ge 0$ đề nghị tasuy ra

$cosvarphi = left| cos left( overrightarrow n_1,overrightarrow n_2 ight) ight| = fracoverrightarrow n_1 .overrightarrow n_2 ightleft$

Vậy

$cos varphi = frac a_1a_2 + b_1b_2 ightsqrt a_1^2 + b_1^2 sqrt a_2^2 + b_2^2 $.

*

7. Bí quyết tính khoảng cách từ một điểm đến lựa chọn một con đường thẳng

Trong khía cạnh phẳng Oxy cho đường thẳng$Delta $cóphương trình ax + by + c = 0 với điểm$M_0left( x_0;y_0 ight)$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ mang đến đường trực tiếp $Delta $, kí hiệu là $dleft( M_0,Delta ight)$), được tính bởicông thức sau:

$dleft( M_0,Delta ight) = fracsqrt a^2 + b^2 $