- Chọn bài -Bài 1: Giới hạn của dãy sốBài 2: Giới hạn của hàm sốBài 3: Hàm số liên tụcÔn tập chương 4

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Sách giải toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 112: Cho dãy số (un) với un = 1/n.

Bạn đang xem: Toán 11 bài 1 giới hạn của dãy số

Biểu diễn (un) dưới dạng khai triển:

*

Biểu diễn (un) trên trục số (h.46):

*

a) Nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi như thế nào khi n trở nên rất lớn.

b) Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?

Lời giải:

a) khoảng cách từ un tới 0 trở nên rất nhỏ (gần bằng 0) khi n trở nên rất lớn

b) Bắt đầu từ số hạng u100 nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01

Bắt đầu từ số hạng u1000 nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01

Gọi u1 là bề dày của một tờ giấy, u2 là bề dày của một xếp giấy gồm hai tờ, u3 là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ, …, un là bề dày của một xếp giấy gồm n tờ. Tiếp tục như vậy t được dãy số vô hạn (un).

Bảng sau đây cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy.

*

a) Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên vô hạn.

b) Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384000 km hay 384.109 mm)


*

Lời giải:

a) giá trị của un rất lớn khi n tăng lên vô hạn

b) Cần n > 384.1010 tờ giấy để đạt được những chồng giấy có về dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng

Bài 1 (trang 121 SGK Đại số 11): Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người(T được gọi chu kỳ bán rã).

Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n.

a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un)

b. Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.

c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6 g.


Lời giải:

a. Sau 1 chu kì bán rã:

*

Sau 2 chu kì bán rã:

*

Sau 3 chu kì bán rã:

*

Tổng quát : Sau n chu kì bán rã :

*

*

c. Chất phóng xạ không còn độc hại nữa khi khối lượng chất phóng xạ còn lại -6 g = 10-9 kg


*

Vậy sau 30 chu kì = 30.24000 = 720 000 năm thì 1kg chất phóng xạ này không còn độc hại nữa.

Bài 2 (trang 121 SGK Đại số 11): Biết dãy số (un) thỏa mãn
*
với mọi n. Chứng minh rằng: lim un = 1.

Lời giải:

Đặt vn = un – 1.

Lấy số dương d > 0 bé tùy ý

⇒ luôn tồn tại

*
thỏa mãn
*

*
với mọi n ≥ n0.

Xem thêm: Một Số Bài Tập Thì Hiện Tại Đơn Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao (Đáp Án Chi Tiết)

⇒ Theo định nghĩa ta có:

*

Bài 3 (trang 121 SGK Đại số 11): Tìm các giới hạn sau:


*

Lời giải:

*

*

*

*

Bài 4 (trang 122 SGK Đại số 11): Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.

*

a. Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u3 và un

b. Tính lim Sn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un

Lời giải:

a. Cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó

⇒ Diện tích hình vuông kế tiếp bằng một nửa diện tích hình vuông trước đó.

*

*
(Tổng của n số hạng đầu của CSN)

*

Bài 5 (trang 122 SGK Đại số 11): Tính tổng:

*

Lời giải:

Dãy

*
là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = -1 và công bội
*

Tổng của cấp số nhân đó là

*

Bài 6 (trang 122 SGK Đại số 11): Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202…(chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số:

Lời giải:

*

Bài 7 (trang 122 SGK Đại số 11): Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải:

*

*

*

*

Bài 8 (trang 122 SGK Đại số 11): Cho hai dãy số (un) và (nn). Biết lim un = 3, lim vn = + ∞. Tính các giới hạn:

*