Bài 1. Bất đẳng thức thuộc: CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I. Ôn tập lý thuyết bất đẳng thức lớp 10

1. Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng “a > b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức.

Bạn đang xem: Toán 10 bất đẳng thức

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Nếu mệnh đề “a > b => c > d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c > d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a > b và cũng viết là a > b => c > d.

Nếu bất đẳng thức a > b là hệ quả của bất đẳng thức c > d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a > b c > d.

3. Tính chất bất đẳng thức

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a > b ta chỉ cần chứng minh a – b > 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau

*

Chú ý

Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.

II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô-Si)

1. Bất đẳng thức Cô-si

Định lí

Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

*

Đẳng thức 

*
 xảy ra khi và chỉ khi a = b.

2. Các hệ quả

Hệ quả 1

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

a + 

*
 ≥ 2, ∀a > 0.

Hệ quả 2

Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

Hệ quả 3

Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

*

IV. Hướng dẫn giải bài tập toán10 bất đẳng thức bài 1

Bài 2 trang 79 SGK Đại Số 10:

Cho số x > 5, số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất?

Lời giải

Với mọi x ≠ 0 ta luôn có: - 1 5 ⇒ x2 > 52 (Bình phương hai vế)

⇒  (Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với  )

Vậy ta có C + Cộng cả hai vế của BĐT với một số bất kì, bất đẳng thức không đổi chiều

a 2n 2n với mọi n ∈ N*.

+ Nhân cả hai vế của BĐT với một số dương thì BĐT không đổi chiều:

a 0.

Bài 2 trang 79 SGK Đại Số 10:

Cho số x > 5, số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất?

Lời giải

Với mọi x ≠ 0 ta luôn có: - 1 5 ⇒ x2 > 52 (Bình phương hai vế)

⇒  (Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với  )

Vậy ta có C + Cộng cả hai vế của BĐT với một số bất kì, bất đẳng thức không đổi chiều

a 2n 2n với mọi n ∈ N*.

+ Nhân cả hai vế của BĐT với một số dương thì BĐT không đổi chiều:

a 0.

Bài 3 trang 79 SGK Đại Số 10:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a) Chứng minh (b - c)2 2

b) Từ đó suy ra: a2 + b2 + c2  b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)

⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0

Ta có: (b – c)2 2

⇔ a2 – (b – c)2 > 0

⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0

⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).

Vậy ta có (b – c)2 2 (1) (đpcm)

b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :

( a – b)2 2 (2)

(c – a)2 2 (3)

Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:

(b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2 2 + b2 + c2

⇒ b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2 2 + b2 + c2

⇒ 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) 2 + b2 + c2

⇒ a2 + b2 + c2 

Đặt t = √x (điều kiện t ≥ 0), khi đó

*

= t8 – t5 + t2 – t + 1

Ta cần chứng minh : t8 – t5 + t2 – t + 1 > 0

Cách 1 (theo hướng dẫn ở đề bài).

+ Xét 0 ≤ t 3 3 > 0 ; 1 – t > 0

t8 – t5 + t2 – t + 1 = t8 + (t2 – t5) + (1 – t)

= t8 + t2.(1 – t3) + (1 – t)

> 0 + 0 + 0 = 0

( vì t8 ≥ 0; t2 ≥ 0 ⇒ t2(1 - t3) ≥ 0 )

+ Xét t ≥ 1 ⇒ t3 ≥ 1 ⇒ t3 – 1 ≥ 0 và t – 1 ≥ 0.

t8 – t5 + t2 – t + 1 = t5.(t3 – 1) + t.(t – 1) + 1

≥ 0 + 0 + 1 > 0

Vậy với mọi t ≥ 0 thì t8 – t5 + t2 – t + 1 ≥ 1/2 > 0 hay  (đpcm)

Cách 2:

2.(t8 – t5 + t2 – t + 1) = t8 + t8 – 2t5 + t2 + t2 – 2t + 1 + 1

= t8 + (t4 – t)2 + (t – 1)2 + 1.

≥ 0 + 0 + 0 + 1 = 1.

(Vì t8 ≥ 0 ; (t4 – t)2 ≥ 0; (t – 1)2 ≥ 0)

⇒ t8 – t5 + t2 – t + 1 ≥ 1/2 > 0 hay  (đpcm)

Bài 6 trang 79 SGK Đại Số 10:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải

*

Gọi tiếp điểm của AB và đường tròn tâm O, bán kính 1 là M, ta có: OM ⊥ AB.

ΔOAB vuông tại O, có OM là đường cao nên MA.MB = MO2 = 1 (hằng số)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

MA + MB ≥ 2√MA.MB = 2. √1 = 2

Dấu « = » xảy ra khi MA = MB = 1.

Khi đó OA = √(MA2 + MO2) = √2 ; OB = √(OM2 + MB2) = √2.

Mà A, B nằm trên tia Ox và Oy nên A(√2; 0); B(0; √2)

Vậy tọa độ là A(√2, 0) và B(0, √2).

Xem thêm: Gợi Ý Đáp Án Đề Thi Đại Học Môn Toán Khối B Năm 2014, Đề Thi Và Đáp Án Đại Học Môn Toán Khối B 2014

Đại số lớp 10 bài 1 Bất đẳng thức hay và chi tiết nhất do đội ngũ giáo viên giỏi toán biên soạn, bám sát chương trình SGK mới toán học lớp 10. Được usogorsk.com biên tập và đăng trong chuyên mục giải toán 10 giúp các bạn học sinh học tốt môn toán đại 10. Nếu thấy hay hãy comment và chia sẻ để nhiều bạn khác cùng học tập.