Tóm tắt lý thuyết và một số ví dụ Luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỷ, luỹ thừa với số mũ vô tỷ và căn bậc n

LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN, SỐ MŨ HỮU TỶ, SỐ MŨ THỰC, CĂN BẬC N

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại usogorsk.com

1. Luỹ thừa với số mũ nguyên

• Luỹ thừa với số mũ nguyên dương

Cho $a\in \mathbb{R},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$Khi đó

${{a}^{n}}=\underbrace{a.a....a}_{n}.$

• Luỹ thừa với số mũ nguyên âm

Cho $a\ne 0.$ Khi đó ${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}};{{a}^{0}}=1.$

• ${{0}^{0}}$ và ${{0}^{-n}}$ không có nghĩa.

Bạn đang xem: Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương

2. Căn bậc n

Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n\ge 2.$ Số $a$ được gọi là căn bậc n của $b$ nếu ${{a}^{n}}=b.$ Khi n lẻ, $b\in \mathbb{R}:$ Tồn tại duy nhất $\sqrt{b}.$ Khi n chẵn và

• $b0:$ có hai căn bậc n của b là $\sqrt{b}$ và $-\sqrt{b}.$

$\begin{align} & \sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}; \\ & \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}; \\ & \sqrt{{{a}^{p}}}={{(\sqrt{a})}^{p}}; \\ & \sqrt{\sqrt{a}}=\sqrt{a}={{a}^{\frac{1}{mn}}}. \\ \end{align}$

3. Luỹ thừa với số mũ hữu tỷ

Cho số thực $a>0$ và số hữu tỷ $r=\frac{m}{n},$ trong đó $m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N},n\ge 2.$ Khi đó ${{a}^{r}}={{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt{{{a}^{m}}}.$ người ta hay viết $\sqrt{a}={{a}^{\frac{1}{n}}}.$

4. Luỹ thừa với số mũ vô tỷ

Cho số thực $a>0$ và số vô tỷ $\alpha $ và $({{r}_{n}})$ là một dãy số hữu tỷ có $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{r}_{n}}=\alpha .$ Khi đó ${{a}^{\alpha }}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{{{r}_{n}}}}.$

5. Các tính chất của luỹ thừa với số mũ thực

Cho $a,b$ là những số thực dương ; $\alpha ,\beta $ là những số thực tuỳ ý. Khi đó, ta có:

$\begin{align} & {{a}^{\alpha }}.{{a}^{\beta }}={{a}^{\alpha +\beta }}; \\ & \frac{{{a}^{\alpha }}}{{{a}^{\beta }}}={{a}^{\alpha -\beta }}; \\ & {{({{a}^{\alpha }})}^{\beta }}={{a}^{\alpha \beta }}; \\ & {{(ab)}^{\alpha }}={{a}^{\alpha }}.{{b}^{\alpha }}; \\ & {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\alpha }}=\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{b}^{\alpha }}}; \\ \end{align}$ Nếu $a>1$ thì ${{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha >\beta .$ Nếu $0{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha {{a}^{\beta }}\Leftrightarrow (a-1)(\alpha -\beta )>0\text{ }(a>0).$

*Chú ý:

• Luỹ thừa với số mũ nguyên dương thì cơ số bất kì.

• Luỹ thừa với số mũ 0 hoặc nguyên âm thì cơ số khác 0.

• Luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số dương.

BÀI TOÁN: Viết $F(x)$ về dạng ${{x}^{\alpha }}.$

• Nhập ${{\log }_{10}}F(X).$

• CALC với $X=10.$

• Kết quả là $\alpha ,$ vậy $F(x)={{x}^{\alpha }}.$

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức $P={{x}^{\frac{4}{3}}}:\sqrt{x}$ với $x>0.$

A. $P={{x}^{\frac{2}{3}}}.$

B. $P={{x}^{\frac{5}{6}}}.$

C. $P=x.$

D. $P={{x}^{\frac{11}{6}}}.$

Giải. Ta có $P={{x}^{\frac{4}{3}}}:{{x}^{\frac{1}{2}}}={{x}^{\frac{4}{3}-\frac{1}{2}}}={{x}^{\frac{5}{6}}}.$

Chọn đáp án B.

*Tính nhanh: Nhập ${{\log }_{10}}\left( {{X}^{\frac{4}{3}}}:\sqrt{X} \right).$ CALC với $X=10.$ Thu được kết quả $\frac{5}{6}\Rightarrow {{X}^{\frac{4}{3}}}:\sqrt{X}={{X}^{\frac{5}{6}}}.$

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức $P=\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt<3>{\frac{b}{a}\sqrt<4>{\frac{a}{b}}}}$ với $a>0,b>0.$

A. $P={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{17}{24}}}.$

B. $P={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{3}{8}}}.$

C. $P={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{13}{12}}}.$

D. $P={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{5}{12}}}.$

Giải. Ta có $P={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{1}{2}}}.{{\left( \frac{b}{a} \right)}^{\frac{1}{2}.\frac{1}{3}}}.{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4}}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{1}{2}}}.{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{-\frac{1}{6}}}.{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{1}{24}}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{3}{8}}}.$

Chọn đáp án B.

*Tính nhanh: Coi $\frac{a}{b}=X.$ Nhập ${{\log }_{10}}\left( \sqrt{X\sqrt<3>{\frac{1}{X}\sqrt<4>{X}}} \right).$ CALC với $X=10.$ Kết quả $\frac{3}{8}.$

Vậy $\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt<3>{\frac{b}{a}\sqrt<4>{\frac{a}{b}}}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\frac{3}{8}}}.$

Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức $P=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x...\sqrt{x}}}}$ với $n$ dấu căn và $x>0.$

A. $P={{x}^{\frac{1}{{{2}^{n}}}}}.$

B. $P={{x}^{\frac{1}{{{2}^{n}}-1}}}.$

C. $P={{x}^{1-\frac{1}{{{2}^{n}}}}}.$

D. $P={{x}^{1+\frac{1}{{{2}^{n}}}}}.$

Giải. Ta có

$P={{x}^{\frac{1}{2}}}.{{x}^{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}}.{{x}^{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}}...{{x}^{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}....\frac{1}{2}}}={{x}^{\frac{1}{2}}}.{{x}^{\frac{1}{{{2}^{2}}}}}.{{x}^{\frac{1}{{{2}^{3}}}}}...{{x}^{\frac{1}{{{2}^{n}}}}}={{x}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{3}}}+...+\frac{1}{{{2}^{n}}}}}={{x}^{\frac{1}{2}\left( \frac{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}-1}{\frac{1}{2}-1} \right)}}={{x}^{1-\frac{1}{{{2}^{n}}}}}.$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức $P={{2}^{\sqrt{1+\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}}}}{{.2}^{\sqrt{1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}}}}..{{.2}^{\sqrt{1+\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{(n+1)}^{2}}}}}}$ ta được $P={{2}^{\alpha }}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $\alpha =\frac{{{(n+1)}^{2}}-1}{{{(n+1)}^{2}}}.$

B. $\alpha =\frac{{{n}^{2}}-1}{n}.$

C. $\alpha =\frac{{{(n+1)}^{2}}-1}{n+1}.$

D. $\alpha =\frac{{{n}^{2}}-1}{n}.$

Giải. Ta có $\begin{align} & \sqrt{1+\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{(n+1)}^{2}}}}=\sqrt{1+{{\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)}^{2}}+\frac{2}{n(n+1)}} \\ & =\sqrt{1+\frac{1}{{{n}^{2}}{{(n+1)}^{2}}}+\frac{2}{n(n+1)}}=\sqrt{{{\left( 1+\frac{1}{n(n+1)} \right)}^{2}}} \\ & =1+\frac{1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}. \end{align}$

Vậy $P={{2}^{1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}}}{{.2}^{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}}..{{.2}^{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}}={{2}^{\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( 1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right)}}}={{2}^{n+\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}}}={{2}^{\frac{{{(n+1)}^{2}}-1}{n+1}}}.$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 5. Tìm tất cả các số thực $m$ sao cho $\frac{{{4}^{a}}}{{{4}^{a}}+m}+\frac{{{4}^{b}}}{{{4}^{b}}+m}=1$ với mọi $a+b=1.$

A. $m=\pm 2.$

B. $m=4.$

C. $m=2.$

D. $m=8.$

Giải. Ta có $a+b=1$ và

$\begin{align} & \frac{{{4}^{a}}}{{{4}^{a}}+m}+\frac{{{4}^{b}}}{{{4}^{b}}+m}=\frac{{{4}^{a}}({{4}^{b}}+m)+{{4}^{b}}({{4}^{a}}+m)}{({{4}^{a}}+m)({{4}^{b}}+m)} \\ & =\frac{{{2.4}^{a+b}}+m({{4}^{a}}+{{4}^{b}})}{{{4}^{a+b}}+m({{4}^{a}}+{{4}^{b}})+{{m}^{2}}}=\frac{8+m({{4}^{a}}+{{4}^{b}})}{{{m}^{2}}+4+m({{4}^{a}}+{{4}^{b}})}. \end{align}$

Vậy $\frac{8+m({{4}^{a}}+{{4}^{b}})}{{{m}^{2}}+4+m({{4}^{a}}+{{4}^{b}})}=1\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4=8\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow m=\pm 2.$

Chọn đáp án A.

Bản xem tại website

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

TẢI VỀ BẢN PDF ĐỀ THI

CHƯƠNG TRÌNH KHUYẾN MẠI CHÀO MỪNG NĂM HỌC MỚI

PRO X CHỈ 666.000 VNĐ

PRO Y - PRO Z - PRO O CHỈ 299.000 VNĐ

ÁP DỤNG ĐẾN HẾT NGÀY 20 - 09 - 2017

Nhân dịp chào đón năm học mới 2017 - 2018, usogorsk.com khuyến mại lớn các khoá học môn Toán dành cho học sinh từ 2k2 trở đi gồm các khoá học như sau:

#KHOÁ HỌCHỌC PHÍ GỐCHỌC PHÍ ƯU ĐÃI
1PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2018 TOÁN1.200.000 VNĐ666.000 VNĐ
2PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K2600.000 VNĐ299.000 VNĐ
3PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K1600.000 VNĐ299.000 VNĐ
4PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI TOÁN 11600.000 VNĐ299.000 VNĐ

CHỈ 666K SỞ HỮU KHOÁ PRO X TOÁN 2018 TẠI usogorsk.com

Pro X - Giải pháp cho vấn đề hàm số

ÁP DỤNG ĐẾN HẾT NGÀY 15 - 09 - 2017

Hãy nhanh tay liên hệ với các anh chị CTV_usogorsk.com tại đây để nhận được ưu đãi học trọn bộ kiến thức thi THPT Quốc gia 2018 chỉ với mức học phí 666,000 vnđ cho khoá PRO X (Luyện thi và Luyện đề Toán 2018)

PRO X TOÁN 2018 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2018

• Dành cho thí sinh với mục tiêu đạt ít nhất 9,0 điểm Toán 2018

• Học toàn bộ 12 cơ bản và nâng cao đã giảm tải

• Ôn tập kiến thức 11 có trong đề thi Toán 2018

• Khoá học đi kèm Khoá Luyện đề Toán 2018

Học phí gốc: 1,200,000đ

Học phí ưu đãi: 666,000đ + Tặng mã giảm giá 50,000đ chỉ còn 616,000đ.

*

PRO X bao gồm:

• Khoá luyện thi 2018

• Khoá luyện đề 2018

Tham gia đăng kí PRO X bạn sẽ được:

• Được học toàn bộ kiến thức 12 từ cơ bản đến nâng cao, bao quát mọi dạng bài, rèn luyện ngân hàng đề thi phong phú và chất.

• Được ôn tập lại toàn bộ 11 có trong chương trình thi 2018, dự kiến bộ công bố cấu trúc đề thi vào khoảng tháng 10 - 11.

• Được rèn luyện kĩ năng làm đề với Khoá luyện đề 2018 chất.

Xem thêm: Giải Vở Bài Tập Cộng Trừ Trong Phạm Vi 10 Lớp 1 0, Bài Tập Toán Cho Bé Chuẩn Bị Vào Lớp 1

Ngoài ra:

• Được tam gia thi thử miễn phí hàng tuần tại group hs usogorsk.com và website usogorsk.com tại đây:https://usogorsk.com/khoa-hoc/xem/thi-thu-mon-toan-hang-tuan-tai-group-hs-usogorsk.comvn-kh078989756.html

• Được trợ giúp bởi cộng đồng học sinh giỏi, Mod và giáo viên hàng đầu tại:https://www.facebook.com/groups/usogorsk.com/

(Pro X tại usogorsk.com có gì cho teen 2k?)

*
PRO X GIẢM CÒN 666.000 VNĐ SO VỚI HỌC PHÍ GỐC 1.200.000 VNĐ

usogorsk.com - Học toán online chất lượng cao!

6 LÍ DO TẠO NÊN SỰ KHÁC BIỆT CỦA CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN TẠI usogorsk.com CỦA THẦY ĐẶNG THÀNH NAM

•Nội dung chất lượng luôn đi sát với thực tiễn đề thi

•Học 1 được 3 và còn hơn thế nữa với tổng thời lượng cho đến 500giờ/khoá

•Tài liệu hỗ trợ & bài tập đi kèm đầy đủ, chỉ sợ học viên phát hoảng vì quá nhiều

•Giao lưu trực tuyến hàng tuần và gặp trực tiếp tại Hà Nội

•Học phí quá rẻ so với những gì các bạn nhận được & liên tục cập nhật các nội dung mới hoàn toàn miễn phí

•Đảm bảo kết quả thi nếu Bạn tiếp thu được 70% lượng kiến thức mà khoá học mang lại

Có thể Bạn sẽ gặp một số đối tượng đi rao bán những video này của chúng tôi không xin phép (đối với những video chúng tôi dạy trong các khóa trước đây) và hành vi lừa đảo Bạn đối với những video Tôi đã để công khai trên kênh Youtube của chúng tôi mà bị đem đi kinh doanh thương mại không xin phép. Bạn nên sáng suốt trước những lời mời mọc của những thành phần mất nhân cách này. Hãy chứng tỏ nhân cách của Bạn bằng cách hãy từ chối và chụp hình lại đoạn mời mọc của chúng (Facebook, thông tin cá nhân, đoạn chat mời mọc) và gửi cho chúng tôi để có biện pháp xử lý chúng. Chúng tôi sẽ giữ bí mật cho Bạn đồng thời gửi tặng Bạn phần quà và lời cảm ơn chân thành.