1. Thiết lập mối liên hệ \(\overrightarrow{E},V\)

Ta biết cường độ điện trường \( \overrightarrow{E} \) đặc trưng cho điện trường về phương diện tác dụng lực; còn điện thế V đặc trưng cho điện trường về mặt năng lượng, vì liên quan đến công của lực điện trường. Như vậy giữa cường độ điện trường và điện thế phải có mối quan hệ với nhau.

Bạn đang xem: Quan hệ giữa cường độ điện trường

*

Để tìm mối quan hệ đó, ta xét hai mặt đẳng thế (I) và (II) mà điện thế có giá trị lần lượt là V và (V + dV). Giả sử điện tích q di chuyển từ điểm M trên mặt đẳng thế (I) đến điểm N trên mặt đẳng thế (II) theo hướng \( d\vec{s}=\overrightarrow{MN} \) (hình 1.38)

Công của lực điện trường trong dịch chuyển đó là: \( dA=q\overrightarrow{E}d\vec{s} \) (1.74)

Mặt khác: \( dA=q\left( {{V}_{M}}-{{V}_{N}} \right)=q\left< V-(V+dV) \right>=-qdV \) (1.75)


So sánh (1.74) và (1.75) suy ra: \( \overrightarrow{E}d\vec{s}=Eds\cos \alpha =-dV \) (1.76)

Với \( \alpha \) là góc hợp bởi vectơ cường độ điện trường \( \overrightarrow{E} \) và vectơ độ dời \( d\vec{s} \).

Ta có các trường hợp sau đây:

Trường hợp 1: Nếu \( d\vec{s} \) hướng về nơi có điện thế cao, nghĩa là \( dV>0 \), thì từ (1.76) suy ra, góc \( \alpha >{{90}^{0}} \), nghĩa là \( \overrightarrow{E} \) hướng về nơi có điện thế thấp.

Trường hợp 2: Nếu \( d\vec{s} \) hướng về nơi có điện thế thấp, nghĩa là \( dV

Vậy, đường sức của điện trường (hay vectơ cường độ điện trường) luôn hướng theo chiều giảm của điện thế.

Gọi \({{E}_{s}}=E\cos \alpha \) là hình chiếu của \(\overrightarrow{E}\) lên phương của \(d\vec{s}\) thì theo (1.76) ta có: \({{E}_{s}}.ds.\cos \alpha =-dV\) hay \({{E}_{s}}=-\frac{dV}{ds}\) (1.77)

(1.77) chứng tỏ rằng, hình chiếu của vectơ cường độ điện trường lên phương nào đó bằng độ giảm điện thế trên một đơn vị chiều dài theo phương đó.

Nếu xét theo phương đường sức điện trường, nghĩa là M và N cùng nằm trên một đường sức điện là Es = E. Ta quy ước ds = dn là độ dịch chuyển vi cấp dọc theo hướng của đường sức điện trường thì ta có:

 \( E=-\frac{dV}{dn} \) (1.78)


Gọi \( {{\vec{n}}_{0}} \) là vectơ đơn vị hướng dọc theo chiều của đường sức điện thì mối quan hệ giữa cường độ điện trường và điện thế được biểu diễn bằng công thức: \( \overrightarrow{E}=-\frac{dV}{dn}.{{\vec{n}}_{0}} \) (1.79)

Vậy, độ lớn của vectơ cường độ điện trường tại mỗi điểm bằng độ giảm của điện thế trên một đơn vị chiều dài dọc theo đường sức điện trường tại điểm đó.

Do \( {{E}_{s}}\le E \) nên so sánh từ (1.77) và (1.78) suy ra: \( \left| \frac{dV}{ds} \right|\le \left| \frac{dV}{dn} \right| \) (1.80)

Vậy, lân cận một điểm trong điện trường thì điện thế sẽ biến thiên nahnh nhất theo phương của đường sức điện trường (hay phương pháp tuyến của mặt đẳng thế) qua điểm đó.

Nếu chiếu vectơ cường độ điện trường \( \overrightarrow{E} \) lên ba trục Ox, Oy, Oz của hệ trục tọa độ Descartes thì ta có: \( {{E}_{x}}=-\frac{\partial V}{\partial x} \); \( {{E}_{x}}=-\frac{\partial V}{\partial y} \); \( {{E}_{x}}=-\frac{\partial V}{\partial z} \) (1.81)

trong đó, \( \frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z} \) là đạo hàm riêng phần của hàm điện thế V(x,y,z) đối với các biến x, y, z.

do đó, vectơ cường độ điện trường trong hệ trục tọa độ Descartes có dạng:

 \( \overrightarrow{E}={{E}_{x}}.\overrightarrow{i}+{{E}_{y}},\overrightarrow{j}+{{E}_{z}}.\overrightarrow{k} \) \( =-\left( \frac{\partial V}{\partial x}.\overrightarrow{i}+\frac{\partial V}{\partial y}.\overrightarrow{j}+\frac{\partial V}{\partial z}.\overrightarrow{k} \right) \) (1.82)

Hay \(\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{gradV}\) (1.83)

Trong đó, vectơ \(\overrightarrow{gradV}=\frac{\partial V}{\partial x}.\overrightarrow{i}+\frac{\partial V}{\partial y}.\overrightarrow{j}+\frac{\partial V}{\partial z}.\overrightarrow{k}\) (1.84) gọi là gradient của điện thế V.


Vậy, vectơ cường độ điện trường tại một điểm bất kì trong điện trường bằng và ngược dấu với gradient của điện thế tại điểm đó.

Đối với điện trường đều, nhân hai vế của (1.78) với dn, rồi lấy tích phân dọc theo đường sức điện trường, ta được:

 \( {{V}_{2}}-{{V}_{1}}=\int\limits_{(1)}^{(2)}{dV}=-E\int\limits_{(1)}^{(2)}{dn}=-E.d \)

Hay \( {{U}_{12}}={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=E.d \) (1.85)

Trong đó d là khoảng cách giữa hai mặt đẳng thế lần lượt đi qua hai điểm (1) và (2), hay khoảng cách giữa hai điểm (1) và (2) tính dọc hướng đường sức điện trường.

2. Lưu thông của vectơ cường độ điện trường

Nếu kí hiệu \( d\ell \) là vi phân của đường đi dọc theo đường cong (L) thì công của lực điện trường được viết là: \( A=\int\limits_{(L)}{\overrightarrow{F}d\overrightarrow{\ell }}=q\int\limits_{(L)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{\ell }} \) hay \( \int\limits_{(L)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{\ell }}=\frac{A}{q} \).

Ta gọi tích phân \( \int\limits_{(L)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{\ell }} \) là lưu thông của vectơ cường độ điện trường dọc theo đường cong (L).

Nếu tính trên đoạn MN của đường cong (L) thì ta có:

 \( \int\limits_{(MN)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{\ell }}=\frac{{{A}_{MN}}}{q}={{V}_{M}}-{{V}_{N}}={{U}_{MN}} \) (1.86)

Nếu (L) là đường cong kín thì điểm đầu M trùng với điểm cuối N, ta có:


 \( \oint\limits_{(L)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{\ell }} \) (1.87)

(1.86) và (1.87) thể hiện tính chất thế của điện trường tĩnh. Từ đó ta có các kết luận sau:

+ Lưu thông của vectơ cường độ điện trường giữa hai điểm M, N dọc theo đường cong (L) bất kì bằng hiệu điện thế giữa hai điểm đó.

+ Lưu thông cùa vectơ cường độ điện trường dọc theo đường cong kín bất kỳ thì bằng không.

Xem thêm: Viết Đoạn Văn Giới Thiệu Về Bản Thân Và Gia Đình Bằng Tiếng Anh Hay Nhất Lớp 6 7

3. Tính cường độ điện trường từ điện thế và ngược lại

Vận dụng các mối quan hệ giữa cường độ điện trường và điện thế ta sẽ tính được cường độ điện trường E nếu biết điện thế V(x,y,z) và ngược lại.