Các dạng toán phương trình lượng giác, phương pháp giải và bài bác tập từ bỏ cơ phiên bản đến nâng cấp - toán lớp 11

Sau khi có tác dụng quen với những hàm lượng giác thì những dạng bài tập về phương trình lượng giác đó là nội dung tiếp sau mà các em sẽ học trong công tác toán lớp 11.

Bạn đang xem: Phương pháp giải phương trình lượng giác 11 nâng cao


Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán nào, phương pháp giải ra sao? chúng ta cùng mày mò qua nội dung bài viết này, đồng thời áp dụng các phương thức giải này để làm các bài bác tập tự cơ phiên bản đến nâng cao về phương trình lượng giác.

I. Kim chỉ nan về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 cung thỏa sinα = a, lúc ấy phương trình (1) có những nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π - α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện 

*
 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Lúc đó những nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 và x = π - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có những nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa cosα = a, lúc đó phương trình (2) có những nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại 0 ≤ α ≤ π với cosα = a thì ta viết α = arccosa. Lúc đó các nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là: 

*

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện

*

- Nếu α thỏa mãn điều khiếu nại

*

II. Các dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức nghiệm tương xứng với từng phương trình.

* ví dụ như 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* giải thuật bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* lấy ví dụ như 2: Giải các phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một số trong những phương trình lượng giác chuyển được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức biến đổi để lấy về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ phiên bản như Dạng 1.

* lấy ví dụ như 1: Giải những phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* lưu lại ý: Bài toán trên áp dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* lấy ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* lưu lại ý: bài bác toán áp dụng công thức chuyển đổi tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* lấy ví dụ như 3: Giải những phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* lưu lại ý: Bài toán bên trên có vận dụng công thức thay đổi tổng các kết quả và công thức nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm con số giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* ví dụ như 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm con số giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai so với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta bao gồm phương trình at2 + bt + c = 0.

* giữ ý: Khi để t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải tất cả điều kiện: -1≤t≤1

* lấy một ví dụ 1: Giải những phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ với t = 1: sinx = 1 

*

+ cùng với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

+ t = 3/2 >1 phải loại

*
*
 
*

* Chú ý: Đối cùng với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Cách thức giải như sau:

 - Ta có: cosx = 0 chưa hẳn là nghiệm của phương trình bởi a≠0,

 Chia 2 vế mang đến cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 cùng với tanx)

 - nếu như phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta vậy d = d.sin2x + d.cos2x, với rút gọn mang đến dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ phương pháp 1: Chia hai vế phương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ giải pháp 2: Sử dụng bí quyết sinx và cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* giữ ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) bao gồm nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng bao quát của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải những phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 khi đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* lưu lại ý: bài toán áp dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Phương trình đối xứng với sinx cùng cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Nguyên Hàm Xe X 2 } + 1}}), F(X) Là Một Nguyên Hàm Của Hàm Số Y = Xe^(X^2)

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, khi đó:  thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- lưu giữ ý: 

*
 nên điều kiện của t là: 

- cho nên vì vậy sau khi tìm kiếm được nghiệm của PT (*) bắt buộc kiểm tra (đối chiếu) lại điều kiện của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không hẳn là PT dạng đối xứng nhưng lại cũng rất có thể giải bằng cách tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương tự, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. Bài tập về những dạng toán Phương trình lượng giác

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Với gần như giá trị như thế nào của x thì giá chỉ trị của các hàm số y = sin 3x với y = sin x bằng nhau?

° giải thuật bài 2 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải những phương trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° giải mã bài 3 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT có nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT bao gồm nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình 

° giải thuật bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến trên đây ta cần đối chiếu với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT tất cả họ nghiệm là 

*

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0 

° lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT có tập nghiệm 

*

* bài bác 2 (trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, khi ấy PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0