1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) khẳng định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K giả dụ F"(x) = f(x) với tất cả x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của e mũ x bình

Bạn đã xem: Nguyên hàm e mũ x bình

2. đặc thù nguyên hàm

Nguyên hàm tất cả 3 tính chất đặc biệt quan trọng cần nhớ:


*

*

*

3. Các cách thức tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm

a) Đổi biến hóa tổng quát

Bước 1: chọn t = φ(x). Trong số ấy φ(x) là hàm số nhưng ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhì về dt = φ"(x)dxBước 3: biểu hiện f(x)dx = gφ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: lúc đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = – 3sinx.dxBước 3: thể hiện $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: lúc đó $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến tấu 1


*

c) Đổi biến dị 2


*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần


Nguyên tắc chung để đặt u và dv: tìm kiếm được v thuận tiện và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: lắp thêm tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, hàm vị giác, hàm mũ).

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Cách tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy tìm kiếm f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình sẽ hướng dẫn bí quyết bấm laptop nguyên hàm nhanh theo 3 bước sau:

Bước 1: nhấn shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: nhận phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá nghiệm

Nếu công dụng bằng 0 (gần bởi 0 ) thì sẽ là đáp án đề xuất chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm sản phẩm công nghệ tính

Bước 1: Nhập vào laptop casio $fracddxleft( frac12.ln left( 2x + 3 ight ight) ight)_x = X – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong công dụng A với C nếu đến X = 2 thì số đông cho kết quả là 0. Vậy khi gồm trị tuyệt đối thì đến X một giá chỉ trị mang đến biểu thức vào trị tuyệt đối âm.

Xem thêm: Cách Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số Lũy Thừa Logarit, Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số Mũ, Lũy Thừa, Lôgarit

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong những số đó $A(x)$ và $B(x)$ là những đa thức cùng bậc cùng với $P(x).$ Bước 2: mang đạo hàm nhì vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng cách thức hệ số bất định ta xác minh được $A(x)$ với $B(x).$

Nhận xét: nếu bậc của nhiều thức to hơn $3$ thì bí quyết 1 tỏ ra cồng kềnh, vì khi ấy ta triển khai số lần nguyên hàm từng phần bởi với số bậc của đa thức, vì thế ta đi đến đánh giá và nhận định như sau:

Nếu bậc của nhiều thức bé dại hơn hoặc bởi $2$: Ta sử dụng cách 1.Nếu bậc của đa thức to hơn hoặc bởi $3$: Ta thực hiện cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài xích tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo dấn xét trên, ta sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm nhị vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = cosx$$ – sin x$ $(2).$

Đồng tuyệt nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$