1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác minh trên K. Hàm số F(x) được điện thoại tư vấn là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K ví như F"(x) = f(x) với đa số x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm căn 1 x 2

2. Tính chất nguyên hàm

Nguyên hàm gồm 3 tính chất quan trọng đặc biệt cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng bí quyết nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các cách thức tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương thức ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi đổi mới tổng quát

Bước 1: chọn t = φ(x). Trong những số đó φ(x) là hàm số cơ mà ta lựa chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân hai về dt = φ"(x)dxBước 3: biểu hiện f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: lúc đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: lựa chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = – 3sinx.dxBước 3: biểu lộ $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi đó $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dị 1

*

c) Đổi biến tấu 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để đặt u với dv: tìm kiếm được v thuận tiện và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: sản phẩm tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhị đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm nhiều thức, hàm lượng giác, hàm mũ).

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Phương pháp tính nguyên hàm bằng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy search f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình đã hướng dẫn bí quyết bấm máy vi tính nguyên hàm nhanh theo 3 bước sau:

Bước 1: dấn shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: dìm phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá chỉ nghiệm

Nếu tác dụng bằng 0 (gần bằng 0 ) thì chính là đáp án nên chọn

Ví dụ: Tìm tất cả nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm máy tính

Bước 1: Nhập vào laptop casio $fracddxleft( frac12.ln left( left ight) ight)_x = X – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong kết quả A và C nếu cho X = 2 thì hầu hết cho hiệu quả là 0. Vậy khi gồm trị hoàn hảo thì mang đến X một giá bán trị cho biểu thức trong trị tuyệt vời âm.

Kết luận: Chọn câu trả lời A.

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một đa thứcTa lựa chọn một trong hai giải pháp sau:

Cách 1: sử dụng nguyên hàm từng phần, thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: vắt vào phương pháp nguyên hàm từng phần.Bước 3: thường xuyên thủ tục như bên trên ta đang khử được bậc của đa thức.

Xem thêm: Tiếng Anh Trình Độ B Tương Đương Toeic Bao Nhiêu ? Bằng B Tiếng Anh Tương Đương Toeic Bao Nhiêu

Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, tiến hành theo quá trình sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong các số ấy $A(x)$ với $B(x)$ là những đa thức cùng bậc cùng với $P(x).$ Bước 2: mang đạo hàm nhị vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng phương thức hệ số bất định ta khẳng định được $A(x)$ cùng $B(x).$

Nhận xét: nếu bậc của đa thức to hơn $3$ thì giải pháp 1 trầm trồ cồng kềnh, vì lúc đó ta tiến hành số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của nhiều thức, cho nên vì thế ta đi đến nhận định và đánh giá như sau:

Nếu bậc của đa thức nhỏ dại hơn hoặc bằng $2$: Ta thực hiện cách 1.Nếu bậc của nhiều thức to hơn hoặc bởi $3$: Ta thực hiện cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo dấn xét trên, ta sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm nhì vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng duy nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$