Giả sử rằng các bạn đã biết tư tưởng đường tròn đơn vị và một số trong những tính hóa học của góc lượng giác với cạnh trong đường tròn đối kháng vị, vấn đề này đề xuất thêm kim chỉ nan của giới hạn kẹp nữa.Bạn vẫn xem: hiểu được lim x tiến tới 0 của sinx / x =1
Đầu tiên, họ nên biết một ít về giới hạn kẹp.
Bạn đang xem: Tính giới hạn lim (sinx/x) khi x tiến tới dương vô cùng
Giả sử ta có một vài $b$ bị kẹp thân hai số $a$ cùng $c$ như sau,
$$a leq b leq c$$
Nếu $a$ cùng $c$ cùng bằng một vài $ extL$ làm sao đó, cũng chính vì $b$ bị kẹp thân $a$ với $c$ đề nghị ta có thể suy ra được $b$ cũng bởi $ extL$, điều này là trọn vẹn hợp tình phù hợp lý.
Giả sử $b = lim_x o 0 fracsin xx$, ta cấp thiết tính trực tiếp $b$ lúc $x o 0$ được, ta đề nghị tìm ra hai số lượng giới hạn $a$ và $c$ để kẹp giới hạn $fracsin xx$ lại, rồi sau đó đi tính $a$ với $c$, đó là ý tưởng của câu hỏi này, làm cầm cố nào nhằm tìm $a$ cùng $c$, ta vẫn phải nhờ vào tính chất của những góc lượng giác và cạnh trong đường tròn đơn vị.
Đầu tiên mình sẽ đi tìm mối quan hệ giữa chúng trước, nhìn bằng mắt thường xuyên vào hình ngơi nghỉ trên, ta phân biệt rằng đâu đó diện tích s tam giác $ extOAC$ có vẻ như như nhỏ hơn diện tích đường cung $stackrelfrown extOAC$, và ăn mặc tích con đường cung $stackrelfrown extOAC$ lại nhỏ hơn diện tích s tam giác xung quanh $ extOBC$, suy nghĩ thầm ta rất có thể áp dụng được định lý kẹp ở chỗ này, việc sót lại là nỗ lực đưa nó về bí quyết góc lượng giác demo xem.
Gọi $ heta$ (thay nỗ lực cho $x$) là góc được chế tạo ra bởi nửa đường kính đường tròn $ extOA$ và $ extOC$, ta có:
$$sin heta = frac extđối exthuyền = frac extAD extOA Rightarrow extAD = sin heta cdot extOA$$
Mà trong mặt đường tròn đối chọi vị, độ dài cung cấp kính luôn luôn bằng $1$, có nghĩa là $ extOA = extOC = 1$, vậy:
$$ extAD = sin heta cdot 1 = sin heta$$
Khi nói $ heta$ tiến cho tới $0$, có nghĩa là $ heta$ rất có thể tiến từ số dương (vùng I) về $0$, cũng có thể tiến tự số âm (vùng IV) về $0$, vậy để đảm bảo an toàn độ nhiều năm $ extAD$ luôn đúng, ta yêu cầu thêm dấu quý giá tuyệt đối,
$$ extAD = |sin heta|$$
Có độ nhiều năm đoạn $ extAD$, ta có thể tính diện tích tam giác $ extOAC$ bằng,
$$S_ extOAC = frac12 cdot extAD cdot extOC = frac12 cdot |sin heta| cdot 1 = fracsin heta2$$
Tiếp theo, ta yêu cầu tính diện tích cung tròn $stackrelfrown extOAC$ (cung bao gồm đường màu sắc vàng), ta biết rằng cả một hình tròn trụ đơn vị sẽ sở hữu được hệ số góc là $2 pi$ radian với có diện tích là $1 pi$ radian, vậy 1 phần nhỏ của hình trụ (tức là cung $stackrelfrown extOAC$) sẽ được tính bằng cách lấy hệ số góc của cung $stackrelfrown extOAC$ chia cho cả hệ số góc của hình trụ sau đó nhân với diện tích s của nó đúng không ạ nào.
$$S_stackrelfrown extOAC = frac heta2 pi cdot pi = frac heta2$$
Tương trường đoản cú với lí vị như trên, ta rất cần được thêm giá bán trị hoàn hảo vào $ heta$,
$$S_stackrelfrown extOAC = frac heta2$$
Tiếp theo, tính diện tích s của tam giác $ extOBC$, ta yêu cầu tính độ lâu năm cạnh $BC$ với,
$$ an heta = frac extđối extkề = frac extBC extOC Rightarrow extBC = an heta cdot extOC = an heta cdot 1 = an heta$$
Suy ra diện tích s tam giác $ extOBC$ bằng:
$$S_ extOBC = frac12 cdot extOC cdot extBC = frac12 cdot 1 cdot an heta = frac an heta2$$
Tương từ bỏ với lí do như trên, ta cần phải thêm giá chỉ trị hoàn hảo vào $ an heta$,
$$S_ extOBC = frac2$$
Dựa vào hình trên, ta hoàn toàn có thể đưa ra một bất đẳng thức xác định rằng diện tích s tam giác $ extOAC$ luôn nhỏ tuổi hơn diện tích đường cung $stackrelfrown extOAC$ và luôn bé dại hơn diện tích tam giác $ extOBC$, hay,
$$S_ extOAC leq S_stackrelfrown extOAC leq S_ extOBC$$
Thế các hiệu quả tính diện tích vào, ta có,
$$frac2 leq frac heta2 leq frac an heta2$$
Bây giờ làm rứa nào nhằm biểu thức sinh hoạt giữa trở thành $fracsin heta heta$ để áp dụng định lý kẹp thì quá tốt vời, đó là điều bọn họ mong muốn. Đầu tiên, nhân từng biểu thức trong bất đẳng thức mang lại $2$ với mục tiêu để khử số $2$ đi, ta được,
$$|sin heta| leq | heta| leq | an heta|$$
Khai triển $| an heta|$, ta có,
$$|sin heta| leq | heta| leq frac$$
Tiếp tục phân chia mỗi biểu thức trong bất đẳng thức mang lại $|sin heta|$, ta được,
$$frac leq fracsin heta leq fracleft( fracsin heta ight)$$
Rút gọn một xíu,
$$1 leq frac heta leq frac1cos heta$$
Thực hiện đảo ngược tử số và mẫu số của từng biểu thức vào bất đẳng thức, khi đảo ngược, vệt của bất đẳng thức sẽ nạm đổi,
$$1 geq fracsin heta geq |cos heta|$$
Bây giờ xét dấu của giá trị tuyệt đối,
Đối với biểu thức $frac$, khi $ heta$ tiến trường đoản cú vùng dương (vùng I) về $0$, kết quả chắc chắn sẽ dương, lúc $ heta$ tiến tự vùng âm (vùng IV) về $0$, kết quả sẽ bởi $frac-sin heta- heta$ chắc chắn là cũng đang dương.
Đối cùng với biểu thức $|cos heta|$, khi $ heta$ tiến về $0$ là những giá trị nằm trong trục $Ox$, có nghĩa là đoạn trực tiếp $ extOC$, mang lại nên hiệu quả $cos heta$ luôn luôn dương.
Xem thêm: Kể Lại Chuyện Thánh Gióng Bằng Lời Văn Của Em, Hay Nhất (17 Mẫu)
Vậy, ta rất có thể bỏ vết giá trị hoàn hảo nhất đi,
$$1 geq fracsin heta heta geq cos heta$$
Lưu ý, biểu thức trên chỉ đúng trong miền giá trị từ $fracpi2$ đến $frac-pi2$, có nghĩa là trong vùng I với vùng IV của mặt đường tròn solo vị, chính vì $ heta$ tiến cho tới $0$ cho nên vì thế nó chỉ nằm trong 2 khoảng này, chúng ta không phải xét thêm nhì vùng sót lại kia.
Bây giờ, đã tới lúc thêm giới hạn vào các biểu thức nhỏ trong bất đẳng thức trên,
$$lim_ heta o 0 1 geq lim_ heta o 0 fracsin heta heta geq lim_ heta o 0 cos heta$$
Ta có,
$lim_ heta o 0 1 = 1$$lim_ heta o 0 cos heta = cos 0 = 1$Đã mang đến lúc áp dụng định lý số lượng giới hạn kẹp, bởi vì $lim_ heta o 0 fracsin heta heta$ bị kẹp thân hai số lượng giới hạn $lim_ heta o 0 1$ với $lim_ heta o 0 cos heta$, mà bọn họ đã tính được công dụng ở 2 giới hạn kẹp cùng đều bằng $1$, vì thế giới hạn ngơi nghỉ giữa chắc chắn cũng sẽ bằng $1$,