Với bài học này họ sẽ có tác dụng quen và khám phá những tính chất củaHình chữ nhật,cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp những em dễ dàng quản lý nội dung bài xích học.

Bạn đang xem: Hình chữ nhật toán 8


1. Nắm tắt lý thuyết

1.1 Định nghĩa

1.2 Tính chất

1.3 trung tâm đối xứng – Trục đối xứng của hình chữ nhật

1.4Chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật

2. Bài bác tập minh hoạ

3. Luyện tập Bài 9 Toán 8 tập 1

3.1 Trắc nghiệm vềHình chữ nhật

3.2. Bài xích tập SGK vềHình chữ nhật

4. Hỏi đáp bài xích 9 Chương 1 Hình học 8 tập 1


Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Từ định nghĩa này, ta suy ra:

- Hình chữ nhật là hình thang cân tất cả một góc vuông.

- Hình chữ nhật là hình bình hành tất cả một góc vuông.


Vì hình chữ nhật là hình thang cân và cũng là hình bình hành nên nó có các đặc điểm của hình thang cân nặng và các đặc thù của hình bình hành, quan trọng đặc biệt là:

Trong một hình chữ nhật, hai đường chéo cánh bằng nhau và cắt nhau trên trung điểm của từng đường.

Ngược lại, một tứ giác tất cả hai đường chéo cánh bằng nhau và cắt nhau trên trung điểm của mỗi đường thì tứ giác chính là hình chữ nhật.


- Hình chữ nhật gồm một trung tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

- Hình chữ nhật bao gồm hai trục đối xứng là hai tuyến phố thẳng (d_1,d_2) đi qua những trung điểm của hai cạnh đối diện.

Các trục đối xứng của hình chữ nhật trải qua tâm đối xứng, vuông góc với những cạnh, và vuông góc cùng với nhau.

*


Để minh chứng một tứ giác là hình chữ nhật, ta gồm thể chứng minh nó có 1 trong bốn đặc thù sau:

* Có ba góc vuông

* Là hình thang cân bao gồm một góc vuông

* Là hình bình hành tất cả một góc vuông

* bao gồm hai đường chéo cánh bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, hoặc là hình bình hành tất cả hai đường chéo bằng nhau.

Chú ý:

1. Từ đặc thù của hình chữ nhật, ta suy ra một tính chất quan trọng đặc biệt của tam giác vuông, được tuyên bố trong định lí sau:

Định lí:

- vào một tam giác vuông, đường trung đường thuộc cạnh huyền thì bởi một nửa cạnh huyền

- Ngược lại, trong một tam giác, nếu con đường trung tuyến khởi nguồn từ một đỉnh bởi một nửa cạnh đối lập thì tam giác chính là tam giác vuông.

*

Định lí này thường xuyên được sử dụng để chứng tỏ các đoạn thẳng đều nhau và phần trái lại được sử dụng để minh chứng một tam giác vuông.

2. Từ đặc điểm của hình chữ nhật, ta cũng đều có một hiệu quả quan trọng không giống là:

“Những điểm giải pháp một mặt đường thẳng mang lại trước a một khoảng không đổi h ở trên hai tuyến phố thẳng tuy nhiên song với a và cách a một khoảng chừng bằng h”.

5. Đường thẳng song song bí quyết đều

Định lí:

- Nếu những đường thẳng tuy nhiên song giải pháp đều cắt một mặt đường thẳng thì nếu bọn chúng chắn trê tuyến phố thẳng đó các đoạn thẳng liên tục bằng nhau.

- Nếu các đường thẳng tuy vậy song cắt một con đường thẳng và chúng chắn trên phố thẳng đó những đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng tuy nhiên song cách đều.

Ví dụ 1: đến tam giác nhọn ABC, trực trọng điểm H cùng giao điểm của các đường trung trực là điểm O. Call P, Q, N theo đồ vật tự là trung điểm của các đoạn trực tiếp AB, AH, AC.

1. Chứng minh tứ giác OPQN là hình bình hành.

2. Tam giác ABC bắt buộc có điều kiện gì để tứ giác OPQN là hình chữ nhật?

Giải

*

1. O là giao điểm của các đường trung trực nên:

(OP ot AB;,,,,ON ot AC)

Trong (Delta AHC,) QN là con đường trung bình cần QN//HC.

Mà (HC ot AB) buộc phải (QN ot AB.)

Vậy OP // QN (1)

Chứng minh tương tự, ta có

ON // PQ (2)

(1) với (2) suy ra đpcm

2. Để OPQN là hình chữ nhật thì

(PQ ot QN Rightarrow HB ot HC.)

Rõ ràng trong trường phù hợp này điểm H đề xuất trùng với điểm A, có nghĩa là tam giác ABC vuông trên đỉnh A.

Ví dụ 2: cho tam giác ABC, đỉnh A; kẻ phân giác AD. Qua D dựng con đường thẳng tuy vậy song cùng với AB, mặt đường này cắt cạnh AC tại điểm E. Qua E ta kẻ mặt đường thẳng tuy nhiên song với BC, mặt đường thẳng tuy nhiên song cùng với BC, con đường này giảm AB trên điểm F.

1. Chứng tỏ AE = BF

2. Xác định hình dạng của tam giác ABC vào trường hòa hợp điểm E là trung điểm của cạnh AC.

Giải

*

1. Tứ giác BDEF là hình bình hành mang lại ta

BF = ED (1)

(DE = AB Rightarrow widehat D_1 = widehat A_1)

Giả thiết cho (widehat A_2 = widehat A_1)

Vậy (widehat D_1 = widehat A_2 Rightarrow Delta AED)cân

Suy ra AE = ED (2)

Từ (1) với (2) suy ra đpcm

2. Khi E là trung điểm AC thì (DE = frac12AC)

( Rightarrow Delta ADC) vuông tại D giỏi AD là đường cao của (Delta ABC.) giả thiết đến AD là phân giác góc A. Vậy (Delta ABC) cân nặng tại A.

Ví dụ 3: đến hình chữ nhật ABCD. Trường đoản cú đỉnh B kẻ bh vuông góc với đường chéo AC (H nằm trong AC). Call M, N, P, Q theo máy tự là trung điểm của các đoạn trực tiếp AH, AB, NC với DC.

1. Minh chứng (MP = frac12NC.)

2. Minh chứng (BM ot MQ)

Giải

*

1. Trong (Delta ABH), MN là con đường trung bình: MN // BH

( Rightarrow Delta NMC) vuông đỉnh M, MP là trung đường thuộc cạnh huyền NC nên

(MP = frac12NC)

2. Tứ giác BNQC là hình chữ nhật; p. Là giao điểm của hai tuyến phố chéo; NC = BQ

Suy ra (MP = frac12BQ)

Tam giác BMQ có trung con đường MP bằng nửa cạnh tương xứng BQ. Vậy nó là tam giác vuông trên đỉnh M, suy ra (BM ot MQ.)


Bài 1:Cho tam giác ABC. Trường đoản cú đỉnh A, ta kẻ các đường AP, AQ theo thứ tự vuông góc với những tia phân giác không tính của góc B; các đường trực tiếp AR, AS theo máy tự vuông góc với những tia phân giác trong và phân giác bên cạnh của góc C. Bệnh minh:

1. Những tứ giác APBQ, ARCS là các hình chữ nhật.

2. Tứ điểm Q, R, P, S thẳng hàng.

3. (QS = frac12(AB + BC + CA).)

4. Tam giác ABC buộc phải thoả mãn điều kiện gì nhằm APBQ là hình vuông? Từ đó suy ra rằng không thể bao gồm trường hòa hợp cả nhì tứ giác APBQ với ARCS đông đảo là hình vuông.

Giải

*

1. BP là phân giác trong, BP là phân giác bên cạnh của góc tại đỉnh B, nên

(BP ot BQ Rightarrow widehat QBP = 90^0)

Tứ giác APBQ bao gồm bốn góc vuông vì thế nó là hình chữ nhật.

Với tứ giác ARCS cũng lí luận tương tự.

2. Call M là giao điểm của AB và QP. Tứ giá chỉ APBQ là hình chữ nhật, suy ra M là trung điểm của AB.

Ta cũng có: (widehat P_1 = widehat B_2) mà lại (widehat B_2 = widehat B_1)

( Rightarrow widehat P_1 = widehat B_1 Rightarrow MP//BC.)

QP đi qua trung điểm M của AB với QP // BC, suy ra hai điểm P, Q nằm trên phố trung bình ứng cùng với cạnh BC.

Lí luận tương tự, ta cũng có thể có hai điểm R, S cũng nằm trên phố trung bình ứng cùng với cạnh BC.

3. Trong tam giác vuông AQB thì

(QM = frac12AB.)

Tương tự, (NS = frac12AC)

Mặt khác (MN = frac12BC)

( Rightarrow QS = QM + MN + NS = frac12(AB + BC + CA))

4. Để APBQ là hình vuông thì (AB ot QP) nhưng QP // BC đề nghị (AB ot BC Rightarrow Delta ABC) vuông đỉnh B.

Để ARCS là hình vuông vắn thì (AC ot RS) nhưng mà RS // BC yêu cầu (AC ot BC Rightarrow Delta ABC) vuông đỉnh C.

Vì (Delta ABC) quan yếu vừa vuông trên C yêu cầu không thể xảy ra trường hòa hợp cả nhì tứ giác APBQ cùng ARCS phần nhiều là hình vuông.

Bài 2:Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Từ một điểm D trên lòng BC ta kẻ mặt đường vuông góc với BC, con đường này cắt AB ngơi nghỉ E và giảm AC làm việc điểm F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH cùng CDFK. Call I, J theo trang bị tự là tâm của các hình chữ nhật BDEH cùng CDFK và M là trung điểm của đoạn trực tiếp AD.

1. Chứng tỏ rằng trung điểm của đoạn thẳng HK là một điểm rứa định, không dựa vào vào vị trí của điểm D bên trên cạnh BC.

2. Chứng minh ba điểm I, M, J thẳng sản phẩm và cha đường trực tiếp AD, HJ, KI đồng quy.

3. Khi điểm D dịch chuyển trên cạnh BC thì điểm M dịch chuyển trên đoạn trực tiếp nào?

Giải

*

1. Ta có: (widehat B_1 = widehat D_1) mà (widehat B_1 = widehat C_1 Rightarrow widehat D_1 = widehat C_1)

( Rightarrow ID//AC) (1)

Ta cũng có (widehat D_2 = widehat C_1) cơ mà (widehat C_1 = widehat B_1 Rightarrow widehat D_2 = widehat B_1)

( Rightarrow JD//AB) (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra AIDJ là hình bình hành, đến ta:

AJ // ID với AJ = ID

Suy ra AJ // HI với AJ = HI

( Rightarrow ) AHIJ là hình bình hành, đến ta:

IJ // AH và IJ = AK (1)

Tương tự, ta có:

IJ // AK với IJ = AK (2)

Từ (1) với (2), phụ thuộc tiên đề Ơclit, suy ra ba điểm H, A, K trực tiếp hàng với AH = AK xuất xắc A là trung điểm của HK.

2. Tứ giác AIDJ là hình bình hành buộc phải trung điểm M của AD yêu cầu nằm trên IJ.

Trong tam giác DHK thì DA, KI và HJ là các trung tuyến bắt buộc chúng đồng quy.

3. Khi D thay đổi trên BC thì HK luôn luôn đi qua điểm cố định và thắt chặt A với M dịch chuyển trên mặt đường trung bình ứng cùng với cạnh BC của tam giác ABC.

Bài 3:Cho tam giác ABC, kẻ đường cao BE, CD và call H là trực trung tâm của tam giác. M, N, K theo thiết bị tự là trung điểm của các đoạn trực tiếp BC, AH và DE.

1. Chứng tỏ rằng bố điểm M, N, K trực tiếp hàng

2. Dựa vào kết quả trên suy ra rằng giả dụ ta call P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của AB, HC, AC, HB thì ba đường thẳng MN, PQ, RS đồng quy.

Giải

*

1. Vào tam giác vuông ADH ta có:

(DN = frac12AH)

Tương trường đoản cú ta có: (EN = frac12AH)

Vậy ND = NE.

( Rightarrow ) Điểm N nằm trê tuyến phố trung trực của đoạn trực tiếp DE.

Ta cũng có: (DM = frac12BC) cùng (EM = frac12BC)

( Rightarrow MD = ME)

Từ (1) với (2) suy ra M, N và trung điểm K của DE là tía điểm trực tiếp hàng.

Xem thêm: Bài Tập Cân Bằng Của Một Vật Chịu Tác Dụng Của Hai Lực Và Của Ba Lực Không Song Song

2. Từ kết quả trên ta suy ra PQ là trung trực của EF cùng RS là trung trực của DF. Vào tam giác DEF, tía đường trung trực MN, PQ, RS đồng quy.