Thông qua bài học các em sẽ nắm được các dạng Phương trình lượng gác cơ bảncông thức nghiệm của chúng. Cùng với hệ thống bài tập minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em nắm vững nội dung bài học. Đây là bài toán nền tảng để các em học tiếp những dạng phương trình lượng phức tạp hơn hay giải một số dạng bài tập có liên quan đến lượng giác khác.

Bạn đang xem: Giải toán 11 bài phương trình lượng giác cơ bản


1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình sinx= a

1.2. Phương trình cosx= a

1.3. Phương trình tanx= a

1.4. Phương trình cotx= a

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 2 chương 1 giải tích 11

3.1 Trắc nghiệm về phương trình lượng giác

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về hàm số lượng giác

4.Hỏi đáp vềbài 2 chương 1 giải tích 11


Nếu \(|a|>1\): Phương trình vô nghiệm. Nếu \(|a|\leq 1\):\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\(\sin x = \sin {\beta ^0} \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = {\beta ^0} + k{360^0}\\ x = {180^0} - {\beta ^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)\(\sin x = a \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = arc\sin a + k2\pi \\ x = \pi - arc\sin a + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)​Tổng quát: \(\sin f\left( x \right) = \sin g\left( x \right) \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\ f\left( x \right) = \pi - g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)Các trường hợp đặc biệt:

\(\begin{array}{l} \oplus \,\,\,\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \,\,\,\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}\)


Nếu\(|a|>1\): Phương trình vô nghiệm. Nếu\(|a|\leq 1\):\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)\(\cos x = \cos {\beta ^0} \Leftrightarrow x = \pm {\beta ^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\(\cos x = a \Leftrightarrow x = \pm \,arcc{\rm{os}}a + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)Tổng quát:\(\cos f\left( x \right) =\cos g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm g\left( x \right) + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)Các trường hợp đặc biệt:

\(\begin{array}{l} \oplus \,\,\,\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \end{array}\)


\(\begin{array}{l} \oplus \tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}\alpha \Leftrightarrow \,x\,{\rm{ = }}\,\alpha + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}{\beta ^0} \Leftrightarrow \,x{\rm{ = }}{\beta ^0} + k{\rm{18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \tan x = a \Leftrightarrow x{\rm{ = }}\arctan a\, + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}\)

Tổng quát:\(\tan f\left( x \right) = \tan g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \oplus \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,\alpha \,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \cot x = \cot {\beta ^0} \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,{\beta ^0}{\rm{ + }}\,{\rm{k18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \cot x = a \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}{\mathop{\rm arc}\nolimits} \cot \,a\,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}\)

Tổng quát:\(\cot f\left( x \right) = \cot g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau:

a)\(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0\).

b)\(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}}\).

c)\(\sin 3x = \frac{1}{2}\).

d)\(\sin x = \frac{2}{3}\).

Lời giải:

a)\(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi \Leftrightarrow \,\frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi\)

\(\Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\),\(k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là:\(\,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}.\)

b)\(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}} \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có các nghiệm là\(x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\)và \(x = \frac{11\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\)

c)\(\sin 3x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có các nghiệm là\(x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\)và\(x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\).

d)\(\sin x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)

Vậy phương trình có các nghiệm là\(x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi,k \in \mathbb{Z}\)và\(x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.\)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a)\(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}\).

b)\(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Lời giải:

a)\(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\ x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right.{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là:\({x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}\)và\({x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}.\)

b)\(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = c{\rm{os}}{45^0}\)

\(\Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x + {45^0} = {45^0} + k{360^0}\\ x + {45^0} = - {45^0} + k{360^0} \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left< \begin{array}{l} x = {45^0} + k{360^0}\\ x = - {90^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Vậy phương trình có các nghiệm là:\({x = {{45}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}\)và\({x = - {{90}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}.\)

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a)\(\tan x = \tan \frac{\pi }{3}\).

b)\(\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Lời giải:

a)\(\tan x = \tan \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)

b)\(\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow\)\(\tan (x - {15^0}) = \tan {30^0}\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy các nghiệm của phương trình là\(x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)

ví dụ 4:

Giải các phương trình sau:

a)\(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\).

b)\(\cot 4x = - 3.\)

c)\(\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Lời giải:

a)\(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\)\(\Leftrightarrow 4x = \frac{{2\pi }}{7}\, + \,k\pi \Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4},\,k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy các nghiệm của phương trình là:\(x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4};\,k \in \mathbb{Z}.\)

b)\(\cot 4x = - 3 \Leftrightarrow 4x = \arctan \left( { - 3} \right) + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Vậy các nghiệm của phương trình là:\(x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

c)\(\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cot \frac{\pi }{6}\)

\(\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)

Vậy các nghiệm của phương trình là:\(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)


Trong phạm vi bài họcHỌC247chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất vềphương trình lượng giác.Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số lượng giác mà còn được ứng dụng trong việcgiải phương trình lượng giác, sự đơn điệu của hàm số lượng giác,....các em cần tìm hiểu thêm.


Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 1 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.


A.\(x = \frac{\pi }{{20}} + k\frac{\pi }{2};x = \frac{\pi }{5} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}.\) B.\(x = \frac{\pi }{{20}} + k\frac{\pi }{2};x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}.\)C.\(x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{2};x = \frac{\pi }{5} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}.\)D.\(x = \frac{{3\pi }}{5} + k\frac{\pi }{2};x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}.\)
A.\(x = \pm \arccos \frac{2}{5} - \frac{\pi }{{18}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)B.\(x = \pm \arccos \frac{2}{5} + \frac{\pi }{{18}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)C.\(x = \pm \arccos \frac{5}{2} - \frac{\pi }{{18}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)D.\(x = \pm \arccos \frac{5}{2} + \frac{\pi }{{18}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
A.\({x_1} = 5 - \frac{{11\pi }}{6};{x_2} = 5 - \frac{{13\pi }}{6}.\)B.\({x_1} = 5 + \frac{{11\pi }}{6};{x_2} = 5 - \frac{{13\pi }}{6}.\)C.\({x_1} = 5 - \frac{{11\pi }}{6};{x_2} = 5 + \frac{{13\pi }}{6}.\)D.\({x_1} = 5 + \frac{{11\pi }}{6};{x_2} = 5 + \frac{{13\pi }}{6}.\)

Câu 4-10:Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!


Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 2sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGKGiải tích 11Cơ bản và Nâng cao.

Xem thêm: Tìm X Biết ( 2X + 3 ) ^2 = 25, Phương Pháp Giải Toán Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

Bài tập 1 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 4 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 6 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 7 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 1.14 trang 23 SBT Toán 11

Bài tập 1.15 trang 23 SBT Toán 11

Bài tập 1.16 trang 24 SBT Toán 11

Bài tập 1.17 trang 24 SBT Toán 11

Bài tập 1.18 trang 24 SBT Toán 11

Bài tập 1.19 trang 24 SBT Toán 10

Bài tập 1.20 trang 24 SBT Toán 11

Bài tập 1.21 trang 24 SBT Toán 10

Bài tập 1.22 trang 24 SBT Toán 11

Bài tập 1.23 trang 24 SBT Toán 10

Bài tập 1.24 trang 25 SBT Toán 11

Bài tập 14 trang 28 SGK Toán 11 NC

Bài tập 15 trang 28 SGK Toán 11 NC

Bài tập 16 trang 28 SGK Toán 11 NC

Bài tập 17 trang 29 SGK Toán 11 NC

Bài tập 18 trang 29 SGK Toán 11 NC

Bài tập 19 trang 29 SGK Toán 11 NC

Bài tập 20 trang 29 SGK Toán 11 NC

Bài tập 21 trang 29 SGK Toán 11 NC

Bài tập 22 trang 30 SGK Toán 11 NC

Bài tập 23 trang 31 SGK Toán 11 NC

Bài tập 24 trang 32 SGK Toán 11 NC

Bài tập 25 trang 32 SGK Toán 11 NC

Bài tập 26 trang 32 SGK Toán 11 NC


Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phầnHỏiđáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.