Bài 2. Tích phân thuộc: Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
I. Tóm tắt định hướng tích phân
1. Định nghĩa tích phân
Cho f là hàm số liên tiếp trên đoạn
Ta cần sử dụng kí hiệu
Bạn đang xem: Giải bài tập toán 12 tích phân
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ bỏ a cho b hoàn toàn có thể kí hiệu bởi
Ý nghĩa hình học tập của tích phân: Nếu hàm số f thường xuyên và ko âm bên trên đoạn
2. đặc điểm của tích phân
II. Kĩ năng giải bài tập về tích phân
1. Một số phương pháp tính tích phân
Dạng 1: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
Hướng dẫn:
Dạng 2: Dùng đặc điểm cận trung gian để tính tích phân
Sử dụng tính chất
Ví dụ 2: Tính tích phân
Hướng dẫn:
Nhận xét:
Dạng 3: cách thức đổi vươn lên là số
1) Đổi trở nên số dạng 1
Cho hàm số f liên tục trên đoạn
Ví dụ 3: Tính tích phân
Hướng dẫn:
Đặt u = sinx. Ta tất cả du = cosxdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = π/2 ⇒ u(π/2) = 1
Khi đó
Dấu hiệu nhận ra và phương pháp tính tính phân
2) Đổi đổi thay số dạng 2
Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm bên trên đoạn
Một số cách thức đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu vết phân bao gồm dạng
Lưu ý: Chỉ nên thực hiện phép đặt này khi những dấu hiệu 1, 2, 3 đi cùng với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
a) Đặt x = sint ta gồm dx = costdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2.
Vậy
b) Đặt x = tant, ta gồm dx = (1 + tan2t)dt. Đổi cận:
Vậy
Dạng 4: cách thức tính tích phân từng phần.
Định lí : ví như u = u(x) và v = v(x) là nhị hàm số gồm đạo hàm và thường xuyên trên đoạn
hay viết gọn gàng là
| Dạng hàm | P(x): Đa thức Q(x): sin(kx) giỏi cos(kx) | P(x): Đa thức Q(x): ekx | P(x): Đa thức Q(x): ln(ax + b) | P(x): Đa thức Q(x): 1/sin2x tuyệt 1/cos2x |
| Cách đặt | * u = P(x) * dv là Phần còn sót lại của biểu thức dưới dấu tích phân | * u = P(x) * dv là Phần còn sót lại của biểu thức dưới dấu tích phân | * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx | * u = P(x) * dv là Phần sót lại của biểu thức dưới dấu vết phân |
Ví dụ 5: Tính những tích phân sau :
Hướng dẫn:
a) Đặt
Do đó
b) Đặt
III. Hướng dẫn trả lời câu hỏi bài tập tích thân lớp 12 bài xích 2 sgk
Trả lời thắc mắc Toán 12 Giải tích bài 2 trang 101:
Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi mặt đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai tuyến đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).
1. Tính diện tích s S của hình T lúc t = 5 (H.46).
2. Tính diện tích s S(t) của hình T khi x ∈ <1; 5>.
Lời giải:
1. Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0), D là điểm có tọa độ (5,0). B, C thứu tự là giao điểm của mặt đường thẳng x = 1 và x = 5 với đường thẳng y = 2x + 1.
- khi ấy B cùng C sẽ có được tọa độ theo lần lượt là (1,3) với (5,11).
- Ta có: AB = 3, CD = 11, AD = 4. Diện tích hình thang
2. Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0), D là vấn đề có tọa độ (5,0). B, C thứu tự là giao điểm của đường thẳng x = 1 với x = 5 với con đường thẳng y = 2x + 1.
- khi ấy ta có B (1,3) và C(t, 2t + 1).
- Ta bao gồm AB = 3, AD = t – 1, CD = 2t + 1.
- khi đó diện tích hình thang
Lời giải:
- vì chưng F(x) và G(x) hồ hết là nguyên hàm của f(x) buộc phải tồn tại một hằng số C sao cho: F(x) = G(x) + C
- khi ấy F(b) – F(a) = G(b) + C – G(a) – C = G(b) – G(a).
Trả lời thắc mắc Toán 12 Giải tích bài 2 trang 106:
Hãy chứng tỏ các đặc thù 1 và 2.
Lời giải:
Trả lời thắc mắc Toán 12 Giải tích bài xích 2 trang 110:
a) Hãy tính ∫ (x + 1)exdx bằng phương thức tính nguyên hàm từng phần.
b) Từ đó tính
Lời giải:
IV. Chỉ dẫn giải bài bác tập tích phân lớp 12 bài xích 2 sgk
Bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12:
Tính các tích phân sau:
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
+ Tích phân trường đoản cú a mang lại b của hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) là:
+ một số trong những nguyên hàm sử dụng:
Bài 2 trang 112 SGK Giải tích 12:
Tính các tích phân sau:
Kiến thức áp dụng
+ Tích phân tự a mang đến b của hàm số f(x) bao gồm nguyên hàm là F(x) là:
+ một số nguyên hàm sử dụng:
Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12:
Sử dụng phương thức đổi biến, hãy tính:
+ phương thức đổi trở thành số tính tích phân
Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn
Cách 1:
Đặt x = φ(t) ⇒ dx = φ"(t).dt
Giả sử φ(α) = a; φ(β) = b.
Đặt u = u(x) ⇒ du = u"(x)dx
Giả sử f(x) viết được dưới dạng : f(x) = g(u(x)).u’(x)
Bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12:
Sử dụng phương thức tích phân từng phần, hãy tính:
Theo cách làm tích phân từng phần ta có:
Theo phương pháp tích phân từng phần:
Theo bí quyết tích phân từng phần:
+ phương thức tích phân từng phần:
Giả sử f(x) = g(x).h(x).
Xem thêm: Solve Inequalities With Step, Solve The Following : (X+1)(X+2)(X+3)(X+4)=24
Bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12:
Tính các tích phân sau:
