GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Với phương pháp giải những dạng toán về giới hạn của hàng số môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương thức giải đưa ra tiết, bài bác tập minh họa có giải thuật và bài tập tự luyện sẽ giúp đỡ học sinh biết cách làm bài xích tập những dạng toán về giới hạn của hàng số lớp 11. Mời chúng ta đón xem:

Giới hạn của hàng số và bí quyết giải bài bác tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) dãy số có số lượng giới hạn 0

Ta nói rằng dãy số (un) có số lượng giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, đối với mỗi số dương nhỏ tuổi tùy ý mang lại trước, phần nhiều số hạng của dãy số tính từ lúc một số hạng nào kia trở đi, |un| bé dại hơn số dương đó.

Bạn đang xem: Giải bài tập giới hạn của dãy số

Kí hiệu: limn→∞un=0hay lim un = 0 xuất xắc un→0khi n→+∞.

b) dãy số có giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng hàng số (un) có giới hạn là số thực L ví như lim (un – L) = 0

Kí hiệu: limn→∞un=Lhay lim un = L hay un→Lkhi n→+∞.

c) hàng số có giới hạn vô cực

Dãy số (un) có giới hạn là +∞khi n→+∞, nếu un có thể lớn rộng một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu:limun=+∞ hoặcun→+∞  khi n→+∞ 

Dãy số (un) có giới hạn là -∞ khi n→+∞, nếulim−un=+∞

Ký hiệu:limun=−∞ hoặc un→−∞  khi n→+∞ 

d) Một vài số lượng giới hạn đặc biệt

limun=0⇔limun=0

lim1n=0;  lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*

limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*

limqn=0 khi   q1+∞ khi   q>1

e) Định lý về giới hạn hữu hạn

* ví như lim un = a cùng lim đất nước hình chữ s = b cùng c là hằng số. Khi ấy ta có:

lim(un + vn) = a + b

lim(un - vn) = a - b

lim(un vn) = a.b

limunvn=ab,b≠0

lim(cun ) = c.a

lim|un | = |a|

limun3=a3

Nếu un≥0với hồ hết n thì a≥0và limun=a.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn):

Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a.

Hệ quả: đến hai hàng số (un) với (vn):

Nếu un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0thì lim un = 0.

f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

* luật lệ tìm giới hạn tích lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)

* nguyên tắc tìm số lượng giới hạn thương

g) Tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn

Xét cấp số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … có công bội |q| S=u1+u1q+u1q2+....=u11−q   q1

2. Các dạng toán

Dạng 1: Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt

Phương pháp giải:

Sử dụng những giới hạn đặc biệt:

limun=0⇔limun=0

lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*

limqn=0khi   q1+∞khi   q>1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim1n2

b)lim1n2+n+3

c)lim1nn

Lời giải

Áp dụng phương pháp tính số lượng giới hạn đặc biệt, ta có:

a)lim1n2=0

b)lim1n2+n+3=0

c)lim1nn=0

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)lim12n

b)lim54n+1

c) lim (-0,999)n

Lời giải

a) lim12n=0 vì121

b) lim54n+1=+∞ vì54>1

c) lim (-0,999)n = 0 bởi vì |-0,999| Dạng 2: Tính số lượng giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương pháp giải:

Trường hợp lũy thừa của n: phân tách cả tử và và mẫu cho nk (với nk là lũy quá với số mũ mập nhất).

Trường đúng theo lũy thừa mũ n: phân chia cả tử cùng mẫu cho lũy thừa có cơ số khủng nhất.

Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt:

limun=0⇔limun=0lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*limqn=0 khi   q1+∞ khi   q>1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau

a)lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n

b)lim−5n+4n−7n+1+4n+1

c)lim2nn+1n2+2n−3

Lời giải

a)lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n=lim−2n3+3n2+4n4n4+4n3+nn4

=lim−2n+3n2+4n41+4n+1n3=−0+0+41+0+0=0

Vìlim2n=0, lim3n2=0, lim4n4=0, lim4n=0 với lim1n3=0.

b)lim−5n+4n−7n+1+4n+1=lim−5n−7n+1+4n−7n+1−7n+1−7n+1+4n+1−7n+1

=lim1−7.−5−7n+1−7.4−7n1+4−7n+1=1−7.0+1−7.01+0=0

Vì lim−5−7n=lim4−7n=0

c)lim2nn+1n2+2n−3=lim2nn+1n2n2+2n−3n2

=lim2n+1n21+2nn−3n2=0+01+0−0=0

Vì lim2n=0,lim1n2=0, lim2nn=0,lim3n2=0

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương thức liên hợp

Phương pháp giải: Sử dụng những công thức phối hợp (thường sử dụng trong số bài toán đựng căn)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn sau:limn3+3n23−n

Lời giải

Dạng 4: Tính số lượng giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô cực lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Lúc đó: lim (unvn)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau

a)lim2n−n3+2n−2

b)limn2−n4n+1

Lời giải

Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô rất lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Lúc đó: lim (unvn)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)lim2n4−3n3+2n3+2

b)lim2n−13n2+23−2n5+4n3−1

Lời giải

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau lim3n2−2n4+3n−24n−3n2+2.

Lời giải

Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý kẹp và hệ trái của định lý kẹp

Định lí kẹp: Cho bố dãy số (vn); (un) với (wn): Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a

Hệ quả: mang lại hai hàng số (un) và (vn): giả dụ un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0 thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim−1nn+4

b)lim−1n2n+1−13n+1

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

a)limsin2nn+2

b)lim1+cosn32n+3

Lời giải

Dạng 7: số lượng giới hạn dãy số tất cả công thức truy vấn hồi

Phương pháp giải:

Cho hàng số (un) ở dạng phương pháp truy hồi, biết (un) có giới hạn hữu hạn

Giả sử lim un = a (a là số thực) thì lim un+1 = a.

Thay a vào cách làm truy hồi. Giải phương trình tìm a.

Ta được số lượng giới hạn của (un) là lim un = a.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: tìm kiếm lim un biết (un) có số lượng giới hạn hữu hạn vàun:u1=1un+1=2un+3un+2,  n∈ℕ*

Lời giải

Giả sử lim un = a, khi ấy lim un+1 = a

Suy raa=2a+3a+2⇒a2+2a=2a+3⇔a2=3⇔a=±3

Do u1=1>0,un+1=2un+3un+2>0  ∀n∈ℕ* nêna>0⇒a=3

Vậy limun=3.

Ví dụ 2: search lim un biết (un) có số lượng giới hạn hữu hạn và un:u1=2un+1=2+un,  n∈ℕ*.

Lời giải

Vìu1=2>0; un+1=2+un>0

Giả sử lim un = a (a > 0), lúc ấy lim un+1 = a

Suy ra a=2+a⇔a2=a+2

⇔a2−a−2=0⇔a=−1   (Loại)a=2  

Vậy lim un = 2.

Dạng 8: số lượng giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Phương pháp giải:

* Rút gọn (un) (sử dụng tổng cấp cho số cộng, cấp cho số nhân hoặc phương pháp làm trội)

* Rồi kiếm tìm lim un theo định lí hoặc sử dụng nguyên lí định lí kẹp.

* Định lí kẹp: Cho tía dãy số (vn); (un) với (wn): Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a

Hệ quả: đến hai dãy số (un) với (vn): nếu như un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)lim11.3+13.5+...+12n−12n+1

b)lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Lời giải

b)L=lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là 1 dãy số chân tay số cộng bao gồm n số hạng với u1 = 1 với d = 1.

Tổng n số hạng của cấp số cộng:Sn=u1+unn2=1+nn2.

Xét mẫu mã số: Ta thấy 1; 3; 32; 33; …; 3n là một trong những dãy số thuộc hạ số nhân bao gồm (n+1) số hạng với u1 = 1 với q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của cấp cho số nhân:Sn+1=u1.1−qn+11−q=1−3n+11−3=3n+1−12.

Khi đó:L=lim1+nn23n+1−12.(n+1)=limn3n+1−1

Vì n3n+1−1=n3.3n−1n3n2n3n=23n vàlim23n=0

NênL=limn3n+1−1=0

(Bằng quy hấp thụ ta luôn luôn có n2n, ∀n∈ℕ*và 3n>1, ∀n∈ℕ*⇒3n+1−3n=2.3n>2>1⇒3n+1−1>3n).

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn sau:lim12⋅34⋅56⋅⋅⋅2n−12n

Lời giải

Dạng 9: Tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải:

Tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn là:S=u1+u1q+u1q2+....=u11−q   q1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

a)S=1+12+14+18+…

b)S=1+0,9+0,92+0,93+…

Lời giải

a) S=1+12+14+18+…là tổng cấp số nhân lùi vô hạn cùng với u1 = 1 và q=12.

Nên S=1+12+14+18+…=11−12=2.

b) S=1+0,9+0,92+0,93+…là cấp cho số nhân lùi vô hạn cùng với u1 = 1 với q = 0,9.

Nên S=1+0,9+0,92+0,93+…=11−0,9=10.

Ví dụ 2: Biểu diễn những số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:

a) a = 0,32111...

b) b = 2,151515...

Lời giải

a) Ta cóa=0,32111...=32100+1103+1104+1105+...

Vì 1103+1104+1105+... Là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn cùng với u1=1103vàq=110

Nên b=32100+11031−110=289900.

b) Ta cób=2,151515...=2+15100+151002+151003+...

Vì 15100+151002+151003+... Là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn cùng với u1=15100vàq=1100

Nên b=2+151001−1100=7133.

3. Bài bác tập tự luyện

Câu 1. trong các mệnh đề sau, mệnh đề như thế nào là mệnh đề sai?

A. Lim1n3=0.

B. Lim−1nn2=0.

C. Lim1n3=−1.

D. Lim1n=0.

Câu 2. hàng số nào tiếp sau đây có số lượng giới hạn bằng 0?

A. 43n.

B. −43n.

C. −53n.

D. 13n.

Câu 3. hàng số nào tiếp sau đây có số lượng giới hạn bằng 0?

A. Limn2−2n5n+5n2.

B. Lim1−2n5n+5.

C. Lim1−2n25n+5.

D. Lim1−2n5n+5n2.

Câu 4. Tính giới hạn limsinn!n2+1bằng

A. 0.

B. 1.

C. +∞.

D. 2.

Câu 5. mang lại dãy số (un) cùng với un=1+3+5+...+2n−13n2+4. Khi ấy lim un bằng

A. 13.

B. 0.

C. 23.

D. 1.

Câu 6. đến dãy số (un) với un=11.2+12.3+....+1nn+1. Lúc đó lim un bằng

A. 2.

B. 1.

C. 32.

D. Không gồm giới hạn.

Câu 7. Tính limn−8n3+3n+23bằng:

A. +∞.

B. -∞.

C. -1.

D. 0.

Câu 8. Tính limn+4n2−n33bằng:

A. -43.

B. +∞.

C. 43.

D. -4.

Câu 9. Tính lim3n−2.5n7+3.5nbằng:

A. 23.

B. -16.

C. 17.

D. -23.

Câu 10. vào bốn giới hạn sau đây, số lượng giới hạn nào là 0?

A. Lim2n+31−2n.

B. Lim2n+1n−32n−2n3.

C. Lim1−2n2n2+2n.

D. Lim2n+13.2n−3n.

Xem thêm: Từ Điển Anh Việt " Perfume Là Gì ? Bật Mí Các Thông Tin Cần Biết Về Fragrance

Câu 11. cho dãy số (un) được xác định bởi u1=1, un+1=22un+1un+3với đều n≥1. Biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng: