Mỗi bài toán là một mệnh đề đúng hoặc sai. Mỗi mệnh đề bởi thế lại dựa vào vào một phát triển thành số thoải mái và tự nhiên n. Một cách bao quát ta ký kết hiệu P(n) là mệnh đề toán học phụ thuộc vào n, với n là số trường đoản cú nhiên. Như vậy, thực chất phương pháp quy nạp toán học là minh chứng dãy mệnh đề sau đúng hoặc sai:

P(1), P(2), P(3),… P(n),…

* Ví dụ: Chứng minh n7−n chia hết cho 7 với mọi n∈N*

*
*

Cùng vị trí cao nhất lời giải tìm hiểu chi tiết cách thức quy hấp thụ toán học cùng luyện tập một số bài toán về quy nạp toán học nhé!

Phương pháp quy nạp toán học chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n∈N*

Để chứng tỏ một mệnh đề đúng với mọi n∈N∗ bằng cách thức quy hấp thụ toán học, ta thực hiện công việc sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.

Bạn đang xem: Chứng minh quy nạp

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k≥1(giả thiết quy nạp).

Bước 3: Cần minh chứng mệnh đề đúng với n=k+1

Chú ý: Trong trường hợp chứng tỏ một mệnh đề đúng với đa số số từ bỏ nhiên n≥p (p là số từ nhiên) thì thuật toán là:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=p

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k≥1 (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.

Một số sạng bài bác tập phương pháp quy hấp thụ toán học


Dạng 1: chứng minh đẳng thức

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau bằng phương pháp quy nạp:

Với đa số số thoải mái và tự nhiên n ta luôn có :

13 + 23 + 33 +…+ n3 = (1 + 2 + 3 +…+ n)2

Giải:

* cùng với n=1. Ta có: 13 = 12

Vậy đẳng thức trên đúng cùng với n = 1

* cùng với n = 2 ta gồm 13 + 23 = (1 + 2)2

Vậy đẳng thức bên trên đúng với n = 2

* mang sử đẳng thức đúng với n = k

Tức 13 + 23 + 33 +…+ k3 = (1 + 2 + 3 +…+ k)2 (*)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với n = k+1

Tức là ta sẽ minh chứng 13 + 23 + 33 +…+ k3 + (k + 1)3 = (1 + 2 + 3 +…+ k + k+1)2 (**)

Thật vậy:

Từ (*) và (**) ta có:

13 + 23 + 33 +…+ k3 + (k + 1)3 = (1 + 2 + 3 +…+ k + k+1)2

⇔ (1 + 2 + 3 +…+ k)2 + (k + 1)3 = (1 + 2 + 3 +…+ k + k+1)2 (***)

Mặt không giống ta có công thức tính tổng sau:

*

Vậy:

*

* Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức này đúng.

Xem thêm: Tìm M Để Phương Trình Có 2 Nghiệm Cùng Dấu, Trái Dấu, Phương Trình Bậc 2 Có Nghiệm Khi Nào

Ta có:

*

Vậy ta đã chứng tỏ đẳng thức (**) là đúng, tức là đẳng thức đã mang lại đúng cùng với n = k + 1.