Phương pháp chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Một ứng dụng của phép toán nhân véc-tơ với một số thực chính là chứng minh thẳng hàng, song song, đồng quy bằng phương pháp véc-tơ. Trong bài học này, chúng tôi xin giới thiệu phương pháp và các ví dụ, bài tập chứng minh thẳng hàng bằng vectơ.

Bạn đang xem: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 10

1. Phương pháp chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Muốn chứng minh ba điểm $ A, B, C$ thẳng hàng bằng vectơ, chúng ta có hai cách sau:

Chỉ ra $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}, $ với $ k$ là một số thực nào đó.Sử dụng kết quả: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $ A, B, C$ thẳng hàng là $$ \overrightarrow {MC} = t\overrightarrow {MA} + (1 – t)\overrightarrow {MB}, $$ với điểm tuỳ ý $ M$ và số thực $ t$ bất kỳ.

Lưu ý khi chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp véctơ.

Đẳng thức $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$ có thể thay bởi $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{AB}$… miễn là hai véc-tơ đó có các điểm đầu và cuối là 2 trong 3 điểm $A,B,C$.Để có được đẳng thức $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$ ta có thể:Biến đổi sử dụng các quy tắc véc-tơ đã học (quy tắc 3 điểm, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm);Biểu diễn (phân tích) các $ \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}$ qua 2 véc-tơ không cùng phương đã biết.

2. Ví dụ chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD. $ Lấy điểm $ M $ trên đoạn $ BI $ sao cho $ BM = 2MI. $ Chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng.

*

Hướng dẫn. Từ giả thiết ta có $$ \overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI} $$ Suy ra $ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}.$ (*)Mặt khác, vì $ ABCD$ là hình bình hành nên $ \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$.Mà $ I$ là trung điểm $ CD$ nên $ \overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CI}$. Thay vào đẳng thức (*) ở trên ta có \begin{align}&2\overrightarrow{CI} +\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}\\\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IC}\\\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}\end{align} Đẳng thức $ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$ chứng tỏ ba điểm $ A,M,C$ thẳng hàng.

Qua ví dụ này chúng ta có nhận xét sau. Muốn chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng ta phải từ các đẳng thức véc-tơ đã có, biến đổi để xuất hiện được các véc-tơ $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MC}…$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC$, lấy các điểm $ I, J$ thoả mãn $$\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB}, 3\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JC} = \vec 0.$$Chứng minh rằng đường thẳng $ IJ$ đi qua trọng tâm $ G$ của tam giác $ABC$.

Hướng dẫn. Ta có $ G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì với điểm $J$ bất kỳ, ta luôn có $$ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=3\overrightarrow{JG} $$ Nên suy ra $$ 2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=6\overrightarrow{JG} $$ Thay giả thiết $ 2\overrightarrow{JC}=-3\overrightarrow{JA}$ vào ta được $$ 2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JA}=6\overrightarrow{JG} $$ hay $$ 2\overrightarrow{JB}= 6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}.$$ Mặt khác, từ đẳng thức $ \overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$ ta sử dụng quy tắc 3 điểm thì có $$ \overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{JB} $$ Tiếp tục thay kết quả $ 2\overrightarrow{JB}= 6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$ vừa có ở phần trước vào ta được $$ \overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA} $$Thu gọn, ta được $$ \overrightarrow{IJ}=-6\overrightarrow{JG}. $$ Đẳng thức này chứng tỏ ba điểm $ I,J,G$ thẳng hàng.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$, lấy các điểm $ M, N, P$ thoả mãn: $$ \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \vec 0, 3\overrightarrow {AN} – 2\overrightarrow {AC} = \vec 0, \overrightarrow {PB} = 2\overrightarrow {PC}. $$ Chứng minh rằng $ M, N, P$ thẳng hàng.

Hướng dẫn.

Từ đẳng thức $ 3\overrightarrow{AN}-2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$ ta sử dụng quy tắc 3 điểm thì được \begin{align}&3\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MN}-2\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}\\\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}\end{align}Thay giả thiết $ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ và $ 2\overrightarrow {PC}=\overrightarrow {PB}$ vào ta được \begin{align}&\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}\\\Leftrightarrow &\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM} +\overrightarrow{BP}=\vec{0}\\\Leftrightarrow &\overrightarrow{MP} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}=\vec{0}\\\Leftrightarrow & 3\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MP}.\end{align}

Đẳng thức $3\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MP}$ chứng tỏ ba điểm $ M, N, P$ thẳng hàng.

Ví dụ 4. Xác định vị trí điểm $ C $ sao cho $$ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0}. $$ Cho điểm $ M $ bất kỳ trong mặt phẳng và gọi $ \overrightarrow{MN} $ là véc-tơ định bởi $$ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}. $$ Chứng tỏ đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn.

Có $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}, $ hay $ B $ là trung điểm của $ AC. $Từ đẳng thức $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}$ ta sử dụng quy tắc ba điểm thì có \begin{align}\overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}\\&=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}-2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})\\&=-\overrightarrow{MC} +\left(\overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}\right)\\&=-\overrightarrow{MC}.\end{align}Vậy ba điểm $ M,N,C $ thẳng hàng hay đường thẳng $ MN $ luôn đi qua điểm $(C)$ cố định.

3. Bài tập chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Bài tập 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên đoạn $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên đoạn $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ BH=CH, DK=2BK. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

Bài tập 2. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $$ \overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}. $$ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

Bài tập 3. Cho tam giác $ ABC $ có $ M,N,P $ thỏa mãn $$ \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0},\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}. $$ Phân tích các véc-tơ $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo hai véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $ Suy ra $ M,N,P $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}. $ Ta đi tính $ \overrightarrow{AP},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ được $ \overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Từ đó phân tích $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ và suy ra $ \overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}, $ do đó $ M,N,P $ thẳng hàng.

Bài tập 4. Cho tam giác $ ABC $ và hai điểm $ I,J $ thỏa mãn $$ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}, \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $$

Chứng minh $ I,G,B $ thẳng hàng với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $.Chứng minh $ IJ $ cùng phương $ AC. $

Hướng dẫn.

Từ $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $ suy ra $ \overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{GB}, $ do đó $ I,G,B $ thẳng hàng.Ta có $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $, điều này tương đương với $$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}. $$ Mặt khác $ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}$ tương đương với $$\overrightarrow{JA}+(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})-3(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC})=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JA}-3\overrightarrow{AC}=\vec{0}.$$ Cộng từng vế hai đẳng thức được $ \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{AC}, $ do đó $ IJ $ cùng phương $ AC. $

Bài tập 5. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là điểm di động.

Dựng $ \overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}. $ Chứng minh đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.Gọi $ P $ là trung điểm $ CN, $ chứng minh rằng đường thẳng $ MP $ luôn đi qua một điểm cố định.Kéo dài $ AB $ một đoạn $ BE=AB, $ gọi $ F $ là trung điểm $AC$, vẽ hình bình hành $ EAFG. $ Đường thẳng $ AG $ cắt $BC$ tại $ K. $ Tính tỉ số $ KB:KC. $

Hướng dẫn.

Gọi $ I $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} $ thì $ I $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MN}= 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}.$ Suy ra $ M,N,I $ thẳng hàng hay $ MN $ luôn đi qua điểm $ I $ cố định.Vì $ P $ là trung điểm $ CN $ nên $ \overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}). $ Gọi $ J $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}=\vec{0} $ thì $ J $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MP}=…=\frac{5}{2}\overrightarrow{MJ} $ hay $ MP $ luôn đi qua điểm $ J $ cố định.Để xác định giao điểm $ K $ của $ AG $ và $BC$ ta tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}. $Có $ \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. $ Do đó $ AG $ cắt $BC$ tại $ K$ mà $ 2\overrightarrow{KB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC} $ hay $ KB:KC=1:4. $

Bài tập 6. Cho $\Delta ABC$. Dựng $\overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA’}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC’}=\overrightarrow{CA}$. Chứng minh $A$ là trung điểm của $B’C’$. Chứng minh $AA’,BB’,CC’$ đồng quy.

Bài tập 7. Cho $\Delta ABC$ có điểm $I$ trên cạnh $AC$ sao cho $CI=\frac{1}{4}CA$, $J$ là điểm thỏa $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. Chứng minh $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Chứng minh $B,I,J$ thẳng hàng. Hãy dựng điểm $J$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài tập 8.

Xem thêm: De Thi Giữa Kì 1 Lớp 4 Môn Tiếng Anh Lớp 4 Tiểu Học Hải An, Đề Thi Giữa Học Kì 1 Lớp 4 Môn Tiếng Anh Năm 2019

Cho tam giác $ ABC $ có điểm $D$ định bởi $ \overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} $ và $I$ là trung điểm $AD$. Gọi $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} $ với $ x $ là số thực. Tính $ \overrightarrow{BI} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $ Tính $ \overrightarrow{BM} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $ Tìm $ x $ để ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Vì $ I $ là trung điểm $AD$ nên có $$ \overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}. $$ Mặt khác, ta có $$ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=x(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}) \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}=(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}. $$ Ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số $ k $ sao cho $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BI}$. Điều này tương đương với $$(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}=\frac{k}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{k}{3}\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow 2(1-x)=3x \Leftrightarrow x=\frac{2}{5}.$$