Số phức và những dạng toán về số phức là trong những nội dung mà nhiều bạn cảm thấy chúng tương đối trừu tượng cùng khá khó hiểu, một phần nguyên nhân là chúng ta đã vượt quen với số thực giữa những năm học tập trước.

Bạn đang xem: Cách tính modun số phức


Vì vậy, ở bài viết này usogorsk.com sẽ khối hệ thống lại các dạng toán về số phức bên cạnh đó hướng dẫn giải pháp giải các dạng bài xích tập này. Trước khi bắt tay vào giải những dạng bài bác tập số phức, các bạn cũng buộc phải nhớ những nội dung về kim chỉ nan số phức.

I. định hướng về Số phức

1. Số phức là gì?

• Định nghĩa số phức

- Tập vừa lòng số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị chức năng ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bởi 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bởi nhau: 

*
, 
*

2. Trình diễn hình học tập của số phức

- Số phức: , () được trình diễn bởi điểm M(a,b) hay bởi 

*
 trong phương diện phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- mang đến 2 số phức: , lúc đó:

♦

*
*

♦

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- mang đến 2 số phức: , lúc đó:

♦

*
 
*

♦

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức phối hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
; 
*
; 
*
; 
*
; 
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép phân chia số phức khác 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- mang đến số phức: , thì:

♦

*

♦ 

*
; 
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 bao gồm đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 tất cả đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- đến phương trình bậc 2 số phức gồm dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức mang lại trước, A≠0).

- lúc đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là một trong những nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là 1 trong acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

- cho z = r(cosφ + isinφ) với z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

•

*

12. Phương pháp Moivre (Moa-vrơ).

•

*
, 
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• mang đến z = r(cosφ + isinφ), r > 0 tất cả căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 gồm n căn bậc n là:

 

*
, 
*

II. Những dạng toán về Số phức và biện pháp giải

• Dạng 1: các phép tính về số phức

* phương thức giải: Vận dụng những công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ quá và tính chất phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi đo lường và thống kê các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng hay hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: đến số phức 

*
 Tính những số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng trước tiên của 1 cung cấp số nhân cùng với số hạng thứ nhất là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- trường đoản cú giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

• Dạng 2: Tìm số phức thoả đk cho trước (giải phương trình số phức)

* phương thức giải: Vận dụng các tính chất của số phức, những phép biến đổi để giải quyết bài toán.

° lấy ví dụ 1: tìm kiếm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức buộc phải tìm là 1 + i và 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, cùng z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

• Dạng 3: khẳng định phần thực phần ảo, search đối số, nghịch đảo module, liên hợp của số phức và biểu diễn hình học tập của số phức

* phương thức giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài xích toán tương quan tới tính chất của số phức.

♦ nhiều loại 1: tìm phần thực phần ảo của số phức

- cách giải: chuyển đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức vẫn cho bao gồm phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đang cho gồm phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đã cho bao gồm phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức sẽ cho bao gồm phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ loại 2: biểu diễn hình học của số phức

- phương pháp giải: thực hiện điểm M(a;b) biểu diễn số phức z xung quanh phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được trình diễn bởi điểm nào trong những điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là biểu diễn hình học của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức nào có trình diễn hình học tập là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là màn trình diễn hình học tập của số phức z=-2+i

♦ nhiều loại 3: Tính Module của số phức

- biện pháp giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: kiếm tìm mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- gồm

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn nhu cầu

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ một số loại 4: tìm số đối của số phức

- bí quyết giải: biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ các loại 5: tìm kiếm số phức phối hợp của số phức z

- phương pháp giải: chuyển đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức phối hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z với giải phương trình 

*
.

° Lời giải: 

- Ta có 

*
, 
*

- khi đó: 

*

- Giải hệ này ta được các nghiệm

*

♦ nhiều loại 6: kiếm tìm số phức nghịch đảo của số phức

- biện pháp giải: áp dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch hòn đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
, 
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

♦ Loại 7: Tìm những số thực lúc 2 số phức bằng nhau.

- bí quyết giải: áp dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x với y làm sao để cho z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

• Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp các điểm) thoả mãn đk cho trước.

* cách thức giải:

♦ một số loại 1: Số phức z thoả nguyện về độ nhiều năm (module) lúc ấy ta sử dụng công thức 

♦ nhiều loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta thực hiện kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 với b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập phù hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài ra,

 

*

- với x ≠ 0 với y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập vừa lòng điểm M là mặt đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) điện thoại tư vấn N là điểm biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song song với Ox

- Vậy quỹ tích của M là mặt đường thẳng qua N và tuy nhiên song với Ox, chính là đường thẳng y = -3.

c) điện thoại tư vấn I là điểm biểu diễn của số phức 

*

- khi đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là đường tròn trung tâm I(1;-2) nửa đường kính R = 1.

• Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* phương thức giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, từ bỏ (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 và z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- phương diện khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- trường đoản cú (1) cùng (2) gồm VT=VP (đpcm)

• Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức với phương trình bậc 2

* phương thức giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được gọi là căn bậc 2 của số phức z giả dụ w2 = z xuất xắc (x + yi)2 = a + bi.

- lưu lại ý:

♦ khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp dễ dàng sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, giỏi x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với thông số phức

- Là phương trình tất cả dạng: az2 + bz + c = 0, trong số đó a, b, c là những số phức a≠0

- phương pháp giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình tất cả nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: hotline z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên có 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- gọi m=a+bi với a,b∈R.

- Theo bài toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta bao gồm hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau bên trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình bao gồm 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình sẽ cho gồm 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

• Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* cách thức giải: Đặt ẩn phụ và đem lại phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- nhận thấy, z=0 chưa phải nghiệm của phương trình yêu cầu chia 2 vế đến z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- cùng với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- cùng với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) tất cả 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi ấy pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) nhận ra z=0 chưa hẳn là nghiệm của phương trình yêu cầu chia 2 vế pt đến z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, lúc ấy pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
; 
*

• Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* cách thức giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức căn cơ cho một loạt công thức quan trọng đặc biệt khác như phép luỹ thừa, khai căn số phức, phương pháp Euler.

- công thức 1: 

*

- công thức 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được điện thoại tư vấn là argument của z cam kết hiệu là arg(z). Trái lại với phép luỹ quá ta bao gồm phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau bên dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
; 
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính cực hiếm của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình sẽ cho có 2 nghiệm: 

*

- mặt khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã đến trở thành: 

*

 

*
 (*)

- vì chưng z=-1 không phải là nghiệm của phương trình nên nhân 2 vế (*) cùng với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình đang cho tất cả nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

• Dạng 9: Tìm cực trị của số phức

* phương thức giải: Vận dụng kỹ năng và kiến thức tìm rất trị

° lấy một ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z có modul bé dại nhất.

Xem thêm: Khái Niệm Kỹ Năng Là Gì Ví Dụ, Các Kỹ Năng Giúp Bạn Thành Công Trong Công Việc

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Vày vậy các điểm M màn trình diễn số phức z thoả mãn bài toán nằm trê tuyến phố tròn trung khu I(4;-3) nửa đường kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá trị nhỏ dại nhất khi và chỉ còn khi điểm M∈(C) với gần O nhất. Lúc ấy M là giao điểm của (C) và con đường thẳng OI, với M là giao điểm ngay sát O hơn và 

*