7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những kiến thức có thể nói quan trọng nhất trong trương trình toán lớp 7 và các cấp về sau. Trong bài ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng biến đổi tương đương của chúng. Ngoài ra sẽ luyện tập áp dụng các hằng đẳng thức vào làm những dạng bài tập cơ bản.Bạn đang xem: Các dạng bài tập vận dụng hằng đẳng thức

1. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Cho hai biểu thức A và B. Từ hai biểu thức này, ta có thể lập ra 7 hằng đẳng thức như sau:

(A + B)² = A² + 2AB + B² (A – B)² = A² – 2AB + B²

⇒ A² +B² = (A-B)² – 2AB = (A+B)² – 2AB

(A + B)(A – B) = A² – B²(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3A² – B³(A + B)( A² – AB + B²) = A³ +B³(A – B)( A² + AB + B²) = A³ –B³

2. Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Sử dụng 7 hằng đẳng thức Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng

(2x + 1)²(2x + 3y)²(x + 1)(x – 1)m² – n²(5x + 3yz)²(yx – 3ab)²(x² + 3)(xˆ4 + 9 – 3x²)(9x + 3)²(xy + 2yz)²

Lời giải

(2x+1)² = 4x²+ 4x +1(2x+3y)² = 4x² + 2.2x.3y + 9y² = 4x² + 12x.y + 9y²(x+1)(x-1) = x²-1m² – n² = (m – n)(m + n)(5x+3yz)² = 25x² + 2.5x.3yz + 9y²z² = 25x² + 30xyz + 9y²z²(yx – 3ab)² = y²z² – 2.yx.3ab + 9a²b²(x²+3)(xˆ4 + 9 – 3x²) = (x²)² + 3³ = x>xˆ4+27(9x+3)² = 81x² + 54x + 9(xy+2yz)² =x²y² + 2.xy.2yz + 4y²z² = x²y² +4xy² z + 4y² z²

Bài tập 2: Sử Dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và rút gọn biểu thức sau:

A=(x+y)² – (x-y)²

*Cách 1: Khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

A = (x+y)² – (x-y)² = x² + 2xy + y² – (x² – 2xy + y²) = 4xy

*Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức A²–B = (A + B)(A – B)

A=(x+y)² – (x-y)² = (x+y+x-y)(x+y-x+y) = 2x.2y = 4xy

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)²

*Cách 1: Khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = x² + 2xy + y² – 2x² + 2y² + x² – 2xy + y² = 4y²

*Cách 2: 

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = (x + y – x + y)² = (2y)² = 4y²

Bài tập 3: Tính nhanh các biểu thức sau

 153² + 94.153 + 47² 126² – 126.152 + 5776

Lời giải:

153² + 94.153 + 47² = 153² + 2.47.153 + 47² = (153+47)² = 200² = 40000126² – 126.152 + 5776 = 126² – 2.126.76 + 76² = (126-76)² = 50²

3. Các dạng biến đổi cần lưu ý

Chú ý: Dựa vào 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trên ta còn có thể biến đổi và suy ra các đẳng thức tương đương như sau:




Bạn đang xem: Các dạng bài tập vận dụng hằng đẳng thức

*

*

*

*



Xem thêm: Người Sinh 9 Tháng 9 Thuộc Cung Gì ? Giải Mã Bí Ẩn Tính Cách & Vận Mệnh

*

Câu 1: Tính:

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

Lời giải:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

Câu 2: Tính:

a, (x – 1)2

b, (3 – y)2

c, (x – 1/2)2

Lời giải:

a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1

b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Câu 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a, x2 + 6x + 9

b, x2 + x + 1/4

c,2xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2

c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

Câu 4: Rút gọn biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2x2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= 2 = (2x)2 = 4x2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= 2 = x2

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a2 = (5k + 4)2

= 25k2 + 40k + 16

= 25k2 + 40k + 15 + 1

= 5(5k2 + 8k +3) +1

Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1.

Câu 6: Tính giá trị của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b, x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101

c, x3 + 9x2+ 27x + 27 tại x = 97

Lời giải:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

b, Thay x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

c, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Câu 7: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b) = (a + b) = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Lời giải:

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3