A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức toán 10

1. Định nghĩa :

Cho

*
là nhì số thực. Những mệnh đề
*
là mệnh đề chứ biến hóa thì
*
B""" />là mệnh đề đựng biến. Chứng tỏ bất đẳng thức
*
B" />(với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng tỏ mệnh đề đựng biến
*
B""" />đúng với tất cả các giá trị của biến(thỏa mãn đk đó). Khi nói ta bao gồm bất đẳng thức
*
B" />mà ko nêu điều kiện đối với các biến hóa thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với tất cả giá trị của đổi thay là số thực.

2. Tính chất :

*

*
b" />và
*
cRightarrow a>c" />

*

*
bLeftrightarrow a+c>b+c" />

*

*
b" />và
*
dRightarrow a+c>b+d" />

* Nếu

*
0" />thì
*
bLeftrightarrow ac>bc" />

Nếu

*
bge 0Rightarrow sqrta>sqrtb" />

*

*

*

*
bge 0Rightarrow a^n>b^n" />

3. Bất đẳng thức về quý hiếm tuyệt đối.

*

*
với hầu như số thực
*
.

*

*
0" />).

4. Bất đẳng thức thân trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)

a) Đối với nhị số không âm

Cho

*
, ta có
*
. Dấu ‘=’ xẩy ra khi còn chỉ khi
*
.

Hệ quả:

* nhị số dương gồm tổng không thay đổi thì tích lớn nhất lúc hai số đó bằng nhau

* nhị số dương có tích không thay đổi thì tổng nhỏ tuổi nhất khi nhị số đó bởi nhau

b) Đối với tía số ko âm

Cho

*
, ta có
*
abc" />. Vệt ‘=’ xẩy ra khi còn chỉ khi
*
.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.

1. Phương thức giải.

Để chứng tỏ bất đẳng thức(BĐT)

*
ta hoàn toàn có thể sử dụng các cách sau:

Ta đi hội chứng minh

*
. Để chứng tỏ nó ta thường xuyên sử dụng những hằng đẳng thức để phân tích
*
thành tổng hoặc tích của những biểu thức ko âm.

Xuất vạc từ BĐT đúng, chuyển đổi tương đương về BĐT bắt buộc chứng minh.

2.Các ví dụ minh họa.

Loại 1:Biến đổi tương tự về bất đẳng thức đúng.

Ví dụ 1:Cho nhị số thực

*
. Minh chứng rằng những bất đẳng thức sau

a)

*
b)
*

c)

*
d)
*

Lời giải:

a) Ta có

*
. Đẳng thức
*
.

b) Bất đẳng thức tương đương với

*

*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

c) BĐT tương đương

*

*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

d) BĐT tương đương

*

*
*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

Nhận xét:Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như thể “bổ đề” trong chứng minh các bất đẳng thức khác.

Ví dụ 2:Cho năm số thực

*
. Minh chứng rằng
*
.

Lời giải:

Ta có:

*

*

*
đpcm.

Đẳng thức xảy ra

*
.

Loại 2:Xuất phát xuất phát điểm từ một BĐT đúng ta chuyển đổi đến BĐT nên chứng minh

Đối với một số loại này thường xuyên cho giải mã không được tự nhiên và ta thường thực hiện khi những biến gồm có ràng buộc sệt biệt

* chăm chú hai mệnh đề sau thường dùng

*
Rightarrow left( a-alpha ight)left( a-eta ight)le 0" />
*

*
Rightarrow left( a-alpha ight)left( b-alpha ight)left( c-alpha ight)+left( eta -a ight)left( eta -b ight)left( eta -c ight)ge 0left( ** ight)" />

Ví dụ 7:Cho a,b,c là độ dài tía cạnh tam giác. Minh chứng rằng:

*
cRightarrow ac+bc>c^2" />. Tương tự

*
b^2; ext ca+cb>c^2" />cộng ba BĐT đó lại với nhau ta tất cả đpcm

Nhận xét:*Ở trong việc trên ta đã khởi nguồn từ BĐT đúng kia là đặc điểm về độ dài cha cạnh của tam giác. Kế tiếp vì cần lộ diện bình phương cần ta nhân nhị vế của BĐT cùng với c.

Ngoài ra nếu khởi đầu từ BĐT

*
" />. Chứng minh:
*

Lời giải:

Cách 1:

*
Rightarrow (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)ge 0" />

*
(*)

Ta có:

*
nên từ bỏ (*) ta suy ra

*
đpcm.

Cách 2:BĐT cần minh chứng tương đương với

*

*
" />
*
do đó:

*

Ta chỉ việc chứng minh

*

Thật vậy: vì

*
" />nên theo nhận xét
*
ta có

*
*
*

*
*

Vậy BĐT ban sơ được hội chứng minh.

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.

1.Phương pháp giải.

Một số chú ý khi thực hiện bất đẳng thức côsi:

* Khi áp dụng bđt côsi thì những số yêu cầu là đều số không âm

* BĐT côsi hay được vận dụng khi vào BĐT cần minh chứng có tổng và tích

* Điều kiện xẩy ra dấu ‘=’ là các số bởi nhau

* Bất đẳng thức côsi còn có bề ngoài khác thường tuyệt sử dụng

Đối với nhị số:

*
.

Đối với cha số:

*

2.Các lấy một ví dụ minh họa.

Loại 1:Vận dụng thẳng bất đẳng thức côsi

Ví dụ 1:Cho

*
là số dương thỏa mãn
*
. Chứng tỏ rằng

a)

*
b)
*

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có

*

Suy ra

*
(1)

Mặt không giống ta có

*
(1)

Từ (1) với (2) suy ra

*
ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi

*
.

b) Ta có

*

Áp dụng BĐT côsi ta có

*

*
*

Suy ra

*
*

Do đó

*
ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi

*
.

Ví dụ 2:Cho

*
là số dương. Chứng tỏ rằng

a)

*

b)

*

c)

*
abc ight)}^3}" />

d)

*

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có:

*

Suy ra

*
ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

*
.

b) Áp dụng BĐT côsi mang đến hai số dương ta có

*
, giống như ta có
*

Suy ra

*

Mặt khác, vận dụng BĐT côsi cho bố số dương ta có

*

Suy ra

*
. ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

*
.

c) Ta có

*
*

Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có

*
ab.bc.ca=3left( sqrt<3>abc ight)^2" />và
*
abc" />

Suy ra

*
*
abc ight)}^2}+3sqrt<3>abc+abc=left( 1+sqrt<3>abc ight)^3" />ĐPCM

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

*
.

d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có

*
*

Suy ra

*
*
(1)

Mặt không giống theo BĐT côsi cho ba số dương ta có

*
*

*
*

Suy ra

*
(2)

Từ (1) cùng (2) suy ra

*

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

*
.

Loại 2:Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.

Xem thêm: Bình Phương Giá Trị Tuyệt Đối Lớp 7, Giá Trị Tuyệt Đối Là Gì

Để minh chứng BĐT ta thường xuyên phải biến hóa (nhân chia, thêm, sút một biểu thức) để chế tạo biểu thức rất có thể giản mong được sau thời điểm áp dụng BĐT côsi.Khi gặp gỡ BĐT gồm dạng
*
(hoặc
*
), ta thường đi triệu chứng minh
*
(hoặc
*
), xây dựng những BĐT tương tự như rồi cộng(hoặc nhân) vế cùng với vế ta suy ra điều phải chứng minh.Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta phụ thuộc việc bảo đảm an toàn dấu bởi xảy ra(thường lốt bằng xảy ra khi những biến bằng nhau hoặc trên biên).

Ví dụ 5:Cho

*
là số dương. Chứng tỏ rằng: