Bất đẳng thức Svac-xơ (bất đẳng thức cộng mẫu số)

Đây là bài bác loại 16 of 16 vô chuyên mục Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Svac-xơ hoặc bất đẳng thức nằm trong kiểu mẫu số là bất đẳng thức được dùng không hề ít vô minh chứng BĐT với tương quan cho tới phân số.

Bài viết lách này chỉ dẫn cơ hội minh chứng BĐT Svac-xơ phụ thuộc bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Chứng minh bất đẳng thức nằm trong kiểu mẫu số – Svac-xơ

Cho $\displaystyle\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}, \ldots \mathrm{bn}>0$

.Khi cơ tao có $\displaystyle\frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+\ldots+\frac{a^{2}_{n}}{b_{n}} \geq \frac{\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)^{2}}{b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}}$

Dấu “=” xẩy ra Khi $\displaystyle\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\ldots=\frac{a_{n}}{b_{n}}$

– Chứng minh:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mang đến 2 cỗ số $\displaystyle\left(\frac{a_{1}}{\sqrt{b_{1}}}+\frac{a_{2}}{\sqrt{b_{2}}}+\ldots+\frac{a_{n}}{\sqrt{b_{n}}}\right)$ và

$\displaystyle\left(\sqrt{b_{1}}+\sqrt{b_{2}}+\ldots+\sqrt{b_{n}}\right)$ . Ta có:

$\displaystyle\left(\frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+\ldots+\frac{a^{2} n}{b_{n}}\right)\left(b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}\right) \geq\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)^{2}$

$\displaystyle\Rightarrow \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+\ldots+\frac{a^{2} n}{b_{n}} \geq \frac{\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)^{2}}{b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}} .$ (điều cần hội chứng minh).

Ví dụ vận dụng BĐT Svac-xơ

Ví dụ 1: Cho . Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của :

$P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ tao có:

Xem thêm: banh troi nuoc che

$\displaystyle P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c=3$

$\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{(1+1+1)^{2}}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}=3$

Vậy $P \geq 3+3=6$

Dấu “=” xẩy ra Khi

Ví dụ 2: Cho những số thực dương. Chứng minh rằng:

$\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c} \geq \frac{36}{a+b+c}$

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ tao có:

$\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}=\frac{1^{2}}{a}+\frac{2^{2}}{b}+\frac{3^{2}}{c} \geq \frac{(1+2+3)^{2}}{a+b+c}=\frac{36}{a+b+c}(D P.. C M)$

Dấu “=” xẩy ra Khi $\displaystyle\frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{3}{c}$

Xem thêm: viet phuong trinh mat phang chua duong thang va vuong goc voi mat phang

3. Bài luyện áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ

Cho những số thực >0 minh chứng rằng:

a. $\displaystyle\frac{x^{2}}{x^{2}+2 nó z}+\frac{y^{2}}{y^{2}+2 z x}+\frac{z^{2}}{z^{2}+2 x y} \geq 1$

b. $\displaystyle\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

Đại số chín - Tags: bất đẳng thức, bất đẳng thức Svac-xơ

Tóm tắt kiến thức và kỹ năng Đại số chín cả năm
Cách tìm hiểu độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức sau thời điểm rút gọn
Cách đối chiếu nhị căn bậc nhị – Đại số 9
Đề đánh giá Đại số chín chương 3
Giải vấn đề bằng phương pháp lập phương trình, hệ phương trình
Bài luyện cơ bạn dạng giải phương trình vô tỷ – Toán 9
Ví dụ tìm hiểu ĐK xác lập của biểu thức chứa chấp căn