7 hằng đẳng thức đáng đừng quên một trong những kiến thức có thể nói quan trọng độc nhất vô nhị trong trương trình toán lớp 7 và các cấp về sau. Trong bài ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các dạng chuyển đổi tương đương của chúng. Hình như sẽ luyện tập áp dụng những hằng đẳng thức vào làm những dạng bài tập cơ bản.

Bạn đang xem: Bài tập về hằng đẳng thức

1. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Cho hai biểu thức A và B. Từ nhị biểu thức này, ta có thể lập ra 7 hằng đẳng thức như sau:

(A + B)² = A² + 2AB + B² (A – B)² = A²  – 2AB + B²

⇒ A² +B² = (A-B)² – 2AB = (A+B)² – 2AB

(A + B)(A – B) = A² – B²(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3A² – B³(A + B)( A² – AB + B²) = A³ +B³(A – B)( A² + AB + B²) = A³ –B³

2. Bài xích tập vận dụng:

Bài tập 1: sử dụng 7 hằng đẳng thức Viết những biểu thức sau bên dưới dạng tổng

(2x + 1)²(2x + 3y)²(x + 1)(x – 1)m² – n²(5x + 3yz)²(yx – 3ab)²(x² + 3)(xˆ4 + 9 – 3x²)(9x + 3)²(xy + 2yz)²

Lời giải

(2x+1)² = 4x²+ 4x +1(2x+3y)² = 4x² + 2.2x.3y + 9y² = 4x² + 12x.y + 9y²(x+1)(x-1) = x²-1m² – n² = (m – n)(m + n)(5x+3yz)² = 25x² + 2.5x.3yz + 9y²z² = 25x² + 30xyz + 9y²z²(yx – 3ab)² = y²z² – 2.yx.3ab + 9a²b²(x²+3)(xˆ4 + 9 – 3x²) = (x²)² + 3³ = x>xˆ4+27(9x+3)² = 81x² + 54x + 9(xy+2yz)² =x²y² + 2.xy.2yz + 4y²z² = x²y² +4xy² z + 4y² z²

Bài tập 2: thực hiện 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ cùng rút gọn biểu thức sau:

A=(x+y)² – (x-y)²

*Cách 1: khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

A = (x+y)² – (x-y)² = x² + 2xy + y² – (x² – 2xy + y²) = 4xy

*Cách 2: sử dụng hằng đẳng thức A²–B = (A + B)(A – B)

A=(x+y)² – (x-y)² = (x+y+x-y)(x+y-x+y) = 2x.2y = 4xy

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)²

*Cách 1: khai triển từng hằng số trong biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = x² + 2xy + y² – 2x² + 2y² + x² – 2xy + y² = 4y²

*Cách 2: 

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = (x + y – x + y)² = (2y)² = 4y²

Bài tập 3: Tính nhanh các biểu thức sau

 153² + 94.153 + 47² 126² – 126.152 + 5776

Lời giải:

153² + 94.153 + 47² = 153² + 2.47.153 + 47² = (153+47)² = 200² = 40000126² – 126.152 + 5776 = 126² – 2.126.76 + 76² = (126-76)² = 50²

3. Những dạng chuyển đổi cần lưu lại ý

Chú ý phép tính toán, nhân 1-1 thức với đa thức, nhân đa thức với nhiều thức, thực thi hằng đẳng thức. Các bài toán yêu cầu viết lại biểu thức. (Cần lưu ý các quy tắc về nhân đối chọi đa thức với học trực thuộc 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ. Chú ý về vệt của số hạng và dấu của các phép toán.Có thể vận dụng các đặc thù về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để kiếm tìm raBài tập về tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của một biểu thức. Bọn họ thực hiện tại bước trước tiên là chuyển đổi biểu thức yêu mong về dạng M = A² + B trong số ấy A là 1 trong những biểu thức chứa trở nên và B là một vài hoặc một biểu thức số độc lập. Theo tính chất về bình phương của các số thực luôn luôn không âm nên luôn luôn luôn gồm A² ≥ 0 với tất cả giá trị của biến hóa số, vì vậy A² + B ≥ B nên biểu thức có mức giá trị nhỏ tuổi nhất bởi B. Vệt = xảy ra khi A = 0.Bài tập về tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức. Biến hóa biểu thức yêu ước về dạng M = -A² + B trong những số đó A là 1 biểu thức chứa vươn lên là và B là một vài hoặc một biểu thức số độc lập. Theo tính chất về bình phương của hầu hết số thực luôn không âm nên luôn luôn có A² ≥ 0 với tất cả giá trị của thay đổi số, cho nên vì vậy -A² + B ≤ B phải biểu thức có mức giá trị lớn nhất bằng B. Vệt = xảy ra khi A=0.

Chú ý: phụ thuộc 7 hằng đẳng thức lưu niệm trên ta còn có thể biến đổi và suy ra những đẳng thức tương tự như sau:

*

Từ hằng đẳng thức 1); 2); 3) ta hoàn toàn có thể mở rộng thêm các đẳng thức sau:

*

*

*

*

*

Câu 1: Tính:

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

Lời giải:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

Câu 2: Tính:

a, (x – 1)2

b, (3 – y)2

c, (x – 1/2)2

Lời giải:

a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1

b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Câu 3: Viết những biểu thức sau bên dưới dạng bình phương một tổng:

a, x2 + 6x + 9

b, x2 + x + 1/4

c,2xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2

c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

Câu 4: Rút gọn gàng biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2x2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= <(x + y) + (x – y)>2 = (2x)2 = 4x2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= <(x – y + z) + (y – z)>2 = x2

Câu 5: Biết số tự nhiên và thoải mái a phân chia cho 5 dư 4. Chứng tỏ rằng a2 phân chia cho 5 dư 1.

Xem thêm: Đề Kiểm Tra Môn Tiếng Việt Lớp 2 Học Kì 2 Theo Thông Tư 22, Đề Thi Học Kì 2 Lớp 2 Môn Tiếng Việt Năm 2020

Lời giải:

Số thoải mái và tự nhiên a phân tách cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a2 = (5k + 4)2

= 25k2 + 40k + 16

= 25k2 + 40k + 15 + 1

= 5(5k2 + 8k +3) +1

Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia đến 5 dư 1.

Câu 6: Tính cực hiếm của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 cùng y = 13

b, x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101

c, x3 + 9x2+ 27x + 27 trên x = 97

Lời giải:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

b, cụ x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

c, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Câu 7: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b)<(a – b)2 + ab> = (a + b) = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Lời giải:

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3