bai tap ham nhieu bien co loi giai

ĐÀ C ̄¡NG ÔN T¾P TOÁN A3 và TOÁN CAO CÂP 2

BỔ TÚC KI¾N THĀC (NH¾C L¾I)

Bạn đang xem: bai tap ham nhieu bien co loi giai

I. PHÉP TÍNH VI PHÂN CþA HÀM MỘT BI¾N

1. Đ¾O HÀM CÀP 1 a) B¿ng đ¿o hàm cơ b¿n

ø ù 1

' 

ý xx  ø ù xx ln aaa

'

ý ø ù ý ee xx

'

ø ù ax ax ln

log 'ý 1

ø ùln x 'ý x 1 ø ù'ýcossin xx

ø ù' ý sincos xx ø ù

x

xtg ' 2 cos

ý 1 ø ù xsin

xtgco 1 2

' ý

ø ù' 2

1

arcsin 1 x

x 

ý ø ù' 2

1

1 x

arctgx 

ý

b) Các quy t¿c tính đ¿o hàm

ø ù ý vuvu ''' ø ù ý vuvu ''' ø ù ý ucuc ''

ø ù ý vuvuuv '''

2

' ''

v

vuvu v

u ý  ÷ ø

ö ÷ ø

ö

c) Đ¿o hàm cÿa hàm hợp

Nếu ý ø ù uyy , ý ø ù xuu thì ý  ø ù xuyy là hàm phù hợp của x. Khi cơ ý uyy ''' xux

B¿ng đ¿o hàm cÿa hàm hợp

ø ù '

'

ý   uuu ø ù '

'

uu ln ý uaaa ø ù' uu ý uee '

ø ù au

u u log a ln ' ' ý ø ù u uu ' ' ln ý ø ùý '' cossin uuu

ø ù ý '' sincos uuu ø ù

u

utg u 2

' ' cos

ý ø ù u

utgco u 2

' ' sin

ý

ø ù 2 ' ' 1

arcsin u

u u 

ý ø ù 2 ' ' 1

arctan u

u u 

ý u )'( ý 2 u ' u

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của những hàm số sau đây

a) b) c) d) e) f)

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của những hàm số sau đây

a) b) c)

2. Đ¾O HÀM CÀP CAO Đ¿o hàm cÃp hai: Đạo hàm cấp cho n bất kì: đạo hàm của đạo hàm cấp cho 2 gọi là đạo hàm cấp cho 3.

Tổng quát tháo : đạo hàm của đạo hàm cấp cho n - 1 gọi là đạo hàm cấp cho n, ký hiệu y(n). Như vậy :

Quy ước : y(0)= y Ví dụ 3. Tính đạo hàm cấp cho nhị của những hàm số sau đây

a) b) √ c) d) e) f) Ví dụ 4. Tính đạo hàm cấp cho n của những hàm số sau đây a) b) c)

3. VI PHÂN

a) Vi phân cÁp 1

Nếu hàm số y=f(x) đem đạo hàm y’ ( x ) thì tớ trình bày f(x) khả vi bên trên x. Biểu thức y’ ( x ) dx được gọi là vi phân (cấp 1) của hàm số cơ và ký hiệu là dy hoặc df. Như vậy :

ýý '' ø ù dxxfdfhaydxydy

b) Vi phân cÁp cao Vi phân của vi phân cấp cho một được gọi là vi phân cấp cho nhị, kí hiệu d²y , và được xem bái công thức d 2 y = d(dy) = y”dx 2 Tổng quát tháo : vi phân của vi phân cấp cho n – 1 được gọi là vi phân cấp cho n , ký hiệu d n(y). Công thức tính vi phâncấp n : dny = y(n)dxn Ví dụ 10. Tính vi phân của những hàm số sau đây

a) y ýln( x 2   x 1) b) y ý ex x 3 c) y ýsin(ln x 2 ) x

GiÁi : a) 

Ví dụ 11. Tính vi phân cấp cho nhị của những hàm số sau đây

a) y ýln(sin x cos ) x b) y ý e cos x c) y ý ar c t an( ) ex

II. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CþA HÀM MỘT BI¾N

II. TÍCH PHÂN BÀT ĐỊNH

1. BÀNG CÁC TÍCH PHÂN C¡ BÀN

1, 1

1  

ý

      dxx x C

C a

xdxa ax ý  ln

#######  xx ý Cedxe   e dxax ý 1 aeax   c a , 0

Cx x

dx ý  ln 

ø ù ø ù

ø ù Cxfdx xf

xf ý  ln

'

 cossin ý Cxxdx  sin axdx ý  1 a cos ax c a  , 0  sincos ý Cxxdx  cos axdx ý 1 a sin ax c a  , 0 Cxtg x  dx ý cos 2

Cxtgco x

dx ý sin 2

II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1. CÔNG THĀC C¡ BÀN

ø ù ø ù phụ vương ø ù ø ù aFbFxFdxxf

b

a

 ýý

trong cơ F ( x ) là nguyên vẹn hàm của f ( x )

2. TÍNH CHÂT Tích phân xác lập cũng có thể có những đặc thù tương tự động như tích phân biến động. Chẳng hạn, mối quan hệ thân thuộc đạo hàm và tích phân á trên đây được tuyên bố như sau :

(∫ ) ; ∫

3. CÁC PH ̄¡NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐÞNH Tích phân xác lập cũng rất được tính như tích phân biến động, với chú ý là : - Công thāc tích phân từng phần :

ý 

b

a

b a

b

a

duvuvdvu

• Khi thay đổi bi¿n số thì phÁi thay đổi c¿n theo đuổi bi¿n số mới mẻ. Các bước thực hiện:
• chọn đổi mới số mới mẻ, tính vi phân của nó
• đổi cận tích phân theo đuổi đổi mới số mới
• viết tích phân ban sơ theo đuổi đổi mới số mới mẻ và tính tích phân mới mẻ. Ví dụ 1. Tính những tích phân xác lập sau đây

a) 

2/

cos

 xdxx b)

e xdxx 1

2 ln c) 

1

xdxe

d)  

6

1 x 231

dx e)  

1

01 x

dx f) 

e x

dxx

1

)sin(ln

Chương 1

PHÉP TÍNH VI PHÂN CþA HÀM SỐ NHIÀU BI¾N SỐ

1. HÀM NHIÀU BI¾N.

Hàm nhiÁu bi¿n Cho tập trung D ý Rn. Quy tắc f đặt t°¢ng āng từng điểm (x 1 , x 2 , ..., xn) þ D với một vài thực duy nhÃt, ký hiệu f(x 1 , x 2 , ..., xn), đ°ợc gọi là hàm n bi¿n xác đßnh bên trên t¿p hợp D****. x 1 , x 2 , ..., xn gọi là những đổi mới số song lập, f(x 1 ,x 2 , ...,xn) là độ quý hiếm của hàm n đổi mới ứng với điểm (x 1 , x 2 , ..., xn) þ D. Thông thưßng Khi mang đến hàm số, ngưßi tớ nên mang đến trước luyện xác lập D và mang đến quy tắc f nhằm rất có thể tính được giá trị ứng của hàm số bên trên từng điểm nằm trong D. Tuy nhiên, trong vô số trưßng phù hợp, ngưßi tớ chỉ mang đến quy tắc f tuy nhiên ko mang đến luyện xác lập. Khi cơ, tớ quy ước t¿p xác đßnh D cÿa hàm số là t¿p phù hợp những điểm (x 1 , x2, ..., xn) þ Rn sao mang đến giá bán trß cÿa biểu thāc f(x 1 , x2, ..., xn) là số thực xác đßnh.

Ví dụ 1. Cho f(x, y) = x 3 – y² + xy. Rõ ràng là ứng với từng cặp (x, y) þ R² tớ lại xác lập được một độ quý hiếm duy

nhất của z (chẳng hạn, độ quý hiếm của z bên trên (2,-1) là z ý  ý     ý f (2, 1) 2 3 ( 1) 2 2.( 1) 5. Vậy đấy là một hàm nhị đổi mới. Tập xác lập của hàm số là cả không khí R².

**2. Đ¾O HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN

1. Đ¿o hàm riêng rẽ (cÁp 1)** Các khái niệm vô mục này chỉ tuyên bố mang đến hàm 2 đổi mới. Đối với hàm nhiều đổi mới rộng lớn, tớ đem ấn định nghĩa tương tự động. Cho hàm nhị đổi mới f(x, y) xác lập bên trên tập trung D. Nếu coi đổi mới số y như hằng số, tớ đem hàm một đổi mới theo đuổi x. Lấy đạo hàm của hàm số chiếm được theo đuổi x , tớ gọi đó

là đạo hàm riêng rẽ theo đuổi x của hàm nhị đổi mới tiếp tục mang đến, kí hiệu là z ' x hoặc

z x

ö ö. Tương tự động, nếu như coi x là hằng số, tớ đem hàm một đổi mới theo đuổi y và tớ cũng tính được đạo hàm riêng rẽ theo đuổi y của hàm

hai đổi mới, kí hiệu là z ' y hoặc

z y

ö ö.

Ví dụ. Cho hàm số z ý   x 3 y 2 xy.

Xem y là hằng số, lấy đạo hàm của hàm số này theo đuổi x , tớ đem z ' x ý 3 x 2 y.

Tương tự động, thắt chặt và cố định x (xem như hằng số) và tính đạo hàm theo đuổi nó, tớ đem đạo hàm riêng rẽ theo đuổi y là ' 2. zy ý   y x

Vậy, thực tế đ¿o hàm riêng rẽ theo đuổi từng bi¿n số là đ¿o hàm cÿa hàm một bi¿n Khi coi những bi¿n số còn l¿i nh° hằng số. Ví dụ. Tính những đạo hàm riêng rẽ của những hàm số sau đây

a) z ý xy b) z ýln( x 2 y 3 )

c) z ý exy d) z ýsin( xy y 2 )

2. Vi phân cÁp 1

4. Vi phân cÁp cao ÷ Vi phân cấp cho hai : Vi phân của vi phân cấp cho 1 của hàm nhị đổi mới z = f(x, y) được gọi là vi phân cấp cho 2 của hàm đó, ký hiệu d²z. Dễ dàng tính được vi phân cấp cho nhị của hàm nhị đổi mới là biểu thức:

d z 2 ý d dz ( )ý z dx " x 2 2  2 z dxdy z dy " xy  " y 2 2

Ví dụ. Hàm số z ý   x 3 y 2 xy đem những đạo hàm riêng rẽ cấp cho hai:

z " x 2 ý6 , x z " xy ý1; z " yx ý1, z " y 2 ý 2.

Vậy, vi phân cấp cho nhị của hàm số này đó là : d z 2 ý 6 xdx 2  2 dxdy  2 dy 2.

Ví dụ 13’. Tính vi phân cấp cho nhị của hàm số y

ý arctgz x

Ví dụ 14. Tính vi phân cấp cho nhị của hàm số a) z = exy b) z ýln( x 2 y 2 )

c) z ý xy 2 x y 3 3 d) z ýsin( x 2 y 2 )

÷ Vi phân cấp cho cao : Vi phân của vi phân cấp cho ( n – 1 ) gọi là vi phân cấp cho n.

**3. CỰC TRỊ CþA HÀM HAI BI¾N

1. Khái niệm** Cho hàm số f(x, y) xác lập bên trên tập trung D. M 0 (x0, nó 0 ) þ D. Ta trình bày M 0 là vấn đề cực lớn của hàm số f(x, y) nếu như tại các điểm M(x, y) ở xung xung quanh M 0 , M  M 0 , tớ đem : f(x, y) < f(x 0 , nó 0 ), hoặc f(M) < f(M 0 ) (nghĩa là f(M) – f(M 0 ) < 0)) Tương tự động tớ đem định nghĩa điểm vô cùng tè Khi thay cho bất đẳng thức f(M) < f(M 0 ) bái bất đẳng thức f(M) > f(M 0 ). Điểm cực lớn, vô cùng tè gọi công cộng là vấn đề vô cùng trị. Ví dụ 1. Xét hàm số f(x, y) = x² + y² - 2x + 3 và điểm M 0 ( 1, 0 ) þ D = R². Giả sử M(x,y) là vấn đề bất kì nằm trong luyện xác lập, ở xung xung quanh điểm M 0 , M  M 0 .Ta có

f M ( )ý f x y ( , )ý    x 2 y 22 x 3; f M ( 0 )ý f (1,0) 2ý

Suy ra 2 2 2 2 f M ( ) f M ( 0 )ý    ý   þ x y 2 x 1 ( x 1) y 0, do M  M 0

Vậy, f(M) > f(M 0 ). Suy đi ra M 0 là vấn đề vô cùng tè của hàm số tiếp tục mang đến.

2. ĐiÁu khiếu nại đem vô cùng trß a) Điều khiếu nại cần thiết : Nếu f(x, y) đem vô cùng trị bên trên M 0 (x0, nó 0 ) þ D và bên trên điểm cơ tồn bên trên những đạo hàm riêng rẽ thì những đạo hàm riêng rẽ bên trên cơ nên vì thế 0 :

f Mx '( 0 )ýý f My '( 0 ) 0.

Điểm tuy nhiên bên trên cơ những đạo hàm riêng rẽ vì thế 0 được gọi là vấn đề giới hạn của hàm số. Ví dụ 2. Hàm số mang đến á ví dụ 1 đem những đạo hàm riêng:

' 2 2, ' 2 ' 01 ' 00

x x y y

z x z x z nó z y

üÿ ý ü ý ý  ý ýýý  ÿþ þ ý

Vậy hàm số mang trong mình 1 trạm dừng là M 0 (1, 0)

Lưu ý: Định lý chỉ trình bày đấy là ĐK cần thiết, ko nên là ĐK đầy đủ, tức là nếu như M 0 là vấn đề giới hạn thì trên đây là điểm ngờ ngß đem vô cùng trị, tuy nhiên ko thể Kết luận tức thì điều này.

b) Điều khiếu nại đầy đủ nhằm hàm đạt vô cùng trị Định lý : Cho hàm số z = f(x, y). Giả sử M 0 (x 0 , nó 0 ) þ D là vấn đề giới hạn của hàm số f(x, y) và bên trên M 0 hàm số đem các đạo hàm riêng rẽ cấp cho nhị là

A ý fx " 2 ( M 0 ), B ý fxy "( M 0 ), C ý fy " 2 ( M 0 ). Khi đó:

• Nếu = A B 0, A 0 B C þþ

thì hàm số đạt vô cùng tè bên trên M 0.

• Nếu = A B 0, A 0 B C þü

thì hàm số đạt cực lớn bên trên M 0.

• Nếu = A B 0 B C ü

thì hàm số không tồn tại vô cùng trị bên trên M 0.

Lưu ý: Nếu = A B 0 B C ý

thì ko dùng được ấn định lý bên trên. Trong trưßng phù hợp cơ tớ rất có thể nên sử dụng định

nghĩa vô cùng trị của hàm số.

3. Các b°ớc mò mẫm vô cùng trß cÿa hàm nhị bi¿n Từ nhị ấn định lý bên trên suy đi ra công việc cần thiết triển khai nhằm mò mẫm vô cùng trị của hàm nhị đổi mới z = f(x, y) là: 1. Tìm luyện xác lập.

2. Tính những đạo hàm riêng rẽ cấp cho 1 của hàm số tiếp tục mang đến. Giải hệ phương trình

' '

0 0

x y

z z

üÿ ý ý ý ÿþ

để mò mẫm điểm

dừng. 3. Tính những đạo hàm riêng rẽ cấp cho nhị Tại từng trạm dừng tính A, B, C và  (định thức cấp nhị tạo ra bái A, B, C) rồi xét vết . 4. Kết luận về vô cùng trị của hàm số tiếp tục mang đến và tính độ quý hiếm vô cùng trị (nếu có). Ví dụ 3. Tìm vô cùng trị (nếu có) của hàm số : z = x 3 + 3y 2 - 3x - 6y Giải

• Tập xác lập của hàm số tiếp tục nghĩ rằng D = R 2.
• Tìm trạm dừng :

z’x= 3x 2 - 3 ; z’y= 6y - 6 

' 0 ' 0

x y

z z

üÿ ý ý ý ÿþ



1 1

Xem thêm: tranh to mau tau thuyen

x y

ü ý ý ý þ

Hàm số đem nhị trạm dừng là M 1 (1, 1), M 2 (-1, 1)

• Các đạo hàm riêng rẽ cấp cho 2 : 606 22 ýýý

" y

" xy

" x z,z,xz

• Tại M 1 (1, 1) : "x "xy "y 22 111 )M(zC,)M(zB,)M(zA ýýýýýý 606

60 036

06  þýý

và A = 6 > 0 nên M 1 là vấn đề vô cùng tè. zmin= - 5

Tại M 2 (-1, 1) : "x "xy "y 22 111 )M(zC,)M(zB,)M(zA ýýýýýý 606

036 60

ý 06 üý nên M 2 ko nên là vấn đề vô cùng trị.

Ví dụ 4. Tìm vô cùng trị của những hàm số sau đây

a) z ý   5 xy x 5 y 5 b) z ý   8 x xy y

Ví dụ. Tìm vô cùng trị của hàm số z = 6 – 4x – 3y với ĐK x 2 ý y 21. Giải. à trên đây : f(x, y) = 6 – 4x – 3y và  (x, y) = x² + y² - 1 - Ta đem hàm số Lagrange

L x y ( , ) 6 4ý    x 3 y ( x 2   y 2 1) Do cơ L ' x ý   42  x L , ' y ý  3 2 y

Giải hệ { tớ tìm kiếm được nhị điểm dừng

M 1 ö÷ø4 35 5; ö÷ø, 1 ý 52 ; M 2 ö÷ø  45 ; 35 ö÷ø, 2 ý  52

• Tính vi phân cấp cho nhị của hàm Lagrange :

2 2

" " " 2 2 2 2 2

2 , 0 , 2 ( , ) 2 2 2 ( )

Lx Lxy Ly d L x nó dx dy dx dy

   

ý ý ý  ý  ý 

• Tại M 1 tớ đem  = 5/2 nên vi phân cấp cho nhị là d²L(M 1 ) = 5(dx² + dy²) > 0 Vậy M 1 là vấn đề vô cùng tè đem ĐK của hàm số tiếp tục mang đến với z minýý z M ( 1 ) 1.

• Tại M 2 tớ đem  = - 5/2 nên vi phân cấp cho nhị là d²L(M 2 ) = - 5(dx² + dy²) < 0 Vậy M 2 là vấn đề cực lớn đem ĐK của hàm số tiếp tục mang đến với z maxýý z M ( 2 ) 11.

Ví dụ. Tìm vô cùng trị của hàm số z = x + 2y với ĐK x² + y² = 5 Ví dụ. Tìm vô cùng trị của hàm số z = x 2 với ĐK x² + y² = 25 L°u ý. Nếu kể từ ĐK  (x, y) = 0 rất có thể tính được y theo đuổi x (hoặc x theo đuổi y ) thì thay cho vô hàm số z = f(x, y) đã cho, tớ sẽ tiến hành hàm theo đuổi x (hoặc theo đuổi y ). Khi cơ vấn đề mò mẫm vô cùng trị đem ĐK của hàm nhị đổi mới được trả về bài toán mò mẫm vô cùng trị của hàm một đổi mới theo đuổi x (hoặc theo đuổi y ).

Ví dụ. Tìm vô cùng trị của hàm số z ý     x 2 y 22 x 2 y 5 với ĐK x + nó = 1. Giải : Từ ĐK x + nó = 1 tớ đem y = 1 – x. Thay vô z thì được : z = x² + (1 – x) 2 – 2x + 2(1 – x) – 5 = 2x 2 – 6x – 2 Hàm số đạt vô cùng tè bên trên điểm x = 3/2 và zmin = -13/. Ví dụ. Tìm vô cùng trị của hàm số : a) z = x 2 với ĐK x² + y² = 25 b) z=xy với ĐK 2x + 3y – 5 = 0. Ví dụ. Tìm vô cùng trị của hàm số z= x 2 +y 2 -xy+x+y-4 với ĐK x+y+3=0.

4. CỰC TRỊ TUYỆT ĐỐI (GTLN, GTNN) CþA HÀM HAI BI¾N

Ta xét vấn đề mò mẫm độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất (còn gọi là vô cùng trị tuyệt đối) của hàm nhị đổi mới f(x,y) liên tục trên miền đóng góp và bị ngăn D. Cũng như với hàm một đổi mới, vô cùng trị vô cùng rất có thể đạt được bên trên những điểm vô cùng trị á vô miền D hoặc bên trên biên của D. Do cơ, ham muốn mò mẫm vô cùng trị vô cùng của hàm f(x,y) bên trên miền D , tớ cần - mò mẫm những điểm vô cùng trị á vô miền D - mò mẫm những điểm vô cùng trị á bên trên biên của D Bài toán mò mẫm điểm vô cùng trị bên trên biên của D đó là vấn đề mò mẫm vô cùng trị của hàm số tiếp tục mang đến với điều kiện  (x, y) = 0 , vô cơ  (x, y) = 0 là phương trình của đưßng biên của D. Trong thực hành thực tế, ngưßi tớ chỉ việc thực hiện như sau :

• Bước 1 : Tìm trạm dừng của f(x, y) bên phía trong miền D (điểm á vô D tuy nhiên tớ ngờ ngß đem vô cùng trị). Muốn thế ta

giải hệ phương trình z’x= 0 , z’y = 0 với (x, y) þ D.

• Bước 2 : Tìm điểm ngờ ngß là vấn đề vô cùng trị á bên trên biên của D. Đó là những điểm ngờ ngß là vấn đề vô cùng trị với

điều khiếu nại  (x, y) = 0. Muốn thế tớ lập hàm số Lagrange và giải hệ phương trình { .

• Bước 3 : Tính độ quý hiếm của z(x, y) bên trên những điểm chiếm được á nhị bước bên trên và đối chiếu nhằm lựa chọn ra GTLN, GTNN. Lưu ý: nếu D là một trong những nhiều giác lồi thì đơn giản minh chứng được rằng điểm nghi ngại đem vô cùng trị phía trên biên của D chỉ rất có thể là những đỉnh của nhiều giác. Do cơ, vô tình huống này, chứ không giải hệ phương trình ở bước 2 người ta chỉ cần thiết mò mẫm tọa chừng những đỉnh của nhiều giác. Ví dụ. Tìm GTLN, GTNN của hàm số z = xy bên trên miền D xác lập bái x 2 + y 2  4. D là hình tròn trụ tâm á O(0, 0), nửa đường kính vì thế 2. ÷ Tìm trạm dừng á vô miền D :

Giải hệ phương trình { tớ được trạm dừng O(0, 0). Điểm này á vô miền D.

÷ Tìm trạm dừng bên trên biên miền D : Biên của miền D đem phương trình x 2 + y 2 - 4 = 0. Xét hàm số Lagrange L(x,y) = xy +  (x 2 + y 2 - 4)

Giải hệ phương trình {  {

Ta đem 4 trạm dừng : (√ √ ) ( √ √ ) (√ √ ) ( √ √ ) ÷ Tính độ quý hiếm của z bên trên 5 điểm tìm kiếm được á trên: Z(0, 0) = 0;

(√ √ ) ( √ √ ) (√ √ ) ( √ √ )

Suy đi ra GTLN của z là 2, đạt bên trên (√ √ ) và ( √ √ ). GTNN của z là (-2), đạt bên trên (√ √ ) và

( √ √ ). Ví dụ. Tìm GTLN, GTNN của hàm số z = x 2 + y 2 - 4 x - y bên trên miền D giới hạn bái những đưßng x=1, y=1, x+y=3. D là tam giác đóng góp ABC , xác lập bái điều kiện 1  x  2 , 1  y  2 và x + y  3 ÷ Trước không còn tớ mò mẫm những trạm dừng á vô miền D

{  {

 {

Điểm này sẽ không á vô miền D. ÷ Biên của D là những cạnh của một tam giác nên điểm ngờ ngß đem vô cùng trị chỉ rất có thể là những đỉnh A, B, C. ÷ Tóm lại, chỉ mất 3 điểm ngờ ngß đem vô cùng trị là A, B, C. z ( A ) = z (1, 1) = - 3 z ( B ) = z (1, 2) = - 1 z ( C ) = z (2, 1) = - 4 Vậy z đem GTLN là z ( B ) = - 1 ; GTNN là z ( C ) = - 4 Ví dụ. Tìm GTLN, GTNN của hàm số z = x 2 + y 2 – xy - x - y trên miền D xác lập bái x  0 , y  0 , x + y  - 3 Ví dụ. Tìm GTLN, GTNN của hàm số z = x 2 – y 2 bên trên miền D xác lập bái x 2 + y 2  4. Ví dụ. Tìm GTLN, GTNN của hàm số z = xy 2 bên trên miền D xác lập bái x 2 + y 2  25

1

3

1 3

A

B

C

Sau trên đây tớ xét một vài ba trưßng phù hợp quan trọng đặc biệt so với miền lấy tích phân.

a) Miền lấy tích phân là hình chữ nhật xác lập bái

( , , , )

a x b a b c d const c nó d

ü  ý ý þ  (Các cạnh của hình chữ nhật tuy vậy song với nhị trục tọa độ) Khi cơ tớ đem công thức tính tích phân nhị lớp:

( , ) ( , ) ( , ) (1)

b d d b

D a c c a

 f x nó dxdy ýý  dx f x nó dy   dy f x nó dx

Các tích phân á vế nên được xem theo đuổi trật tự kể từ nên quý phái trái khoáy, trừ Khi những tính phân song lập cùng nhau thì đem thể tính bọn chúng đồng thời.

Ví dụ. Tính tích phân nhị lớp   D

2 dxdy)yx( , vô cơ D xác lập bái: 0 2 1 3

x y

ü  ý   þ

Cách 1 :

3

4 8 3

44 4

2 2

23

2

3

1

3

1

2

2 22 2

2

ýýý

ýý



    ý

)xx(dx)x(

yx(dy)yx(dxdxdy)yx( nó dx) D y

Cách 2 :

3

8 424 3

8 23

3

1

2 2 0

3 1

2

3

3

1

2

3

1

2

222

ýýý

ýý







 

..)

y )(x()y)(

x (

ydydxdydxxydydxdyxdxdy)yx( DDD

Ví dụ. Tính tích phân nhị lớp  D

2 ydxdyx , vô cơ D xác lập bái: 02 1 3

x y

ü  ý   þ

Ví dụ. Tính tích phân nhị lớp   D

2 dxdy)yx( , vô cơ D là hình chữ nhật số lượng giới hạn bái những đưßng thẳng:

x = 1, x = 3, nó = 0, nó = 4. b) Miền lấy tích phân là hình thang cong xác lập bái:

1 2

( , ) ( ) ( )

a x b a b const y x nó y x

ü  ý ý þ 

à trên đây biên của miền D đem tối thiểu một cạnh tuy vậy song với Oy. Khi đó

a b

c

d

a b

y = nó 2 (x)

y = nó 1 (x)

y = nó 2 (x)

y = nó 1 (x)

a b

2

1

( )

( )

( , ) ( , ) (2)

b nó x

D a nó x

 f x nó dxdy ý  dx f x nó dy

c) Miền lấy tích phân là hình thang cong xác lập bái:

x y 1 ( ) x x y 2 ( ) ( , c d const ) c nó d

ü  ý ý þ 

Trong trưßng phù hợp này thì biên của miền D đem tối thiểu một cạnh tuy vậy song với Ox. Khi đó 2

1

( )

( )

( , ) ( , ) (3)

d x y

D c x y

 f x nó dxdy ý  dy f x nó dx

Ví dụ. Tính tích phân nhị lớp 

D

xydxdy , vô cơ D xác lập bái: 2

0 x 1 x nó x

ü  ý  þ

2 2

2

1 1

0 0 1 2 1 3 5 0 0

. 1 ( ) 1 1( 1 ) 1 2 2 2 4 6 24

x x

D x x x

y x

xydxdy dx xydy xdx ydy

x nó dx x x dx ý

ýý

ý ý  ý  ý

    



Ví dụ. Tính tích phân nhị lớp ( 6 )

D

 x  nó dxdy vô cơ D số lượng giới hạn bái những đưßng nó = x, nó = 5x, x = 1.

Giải : Trước không còn nên vẽ hình, mò mẫm tọa chừng những gửi gắm điểm nhằm xác lập miền D. Ví dụ. Tính (2 ) D

 x  nó dxdy

trong cơ D số lượng giới hạn bái những đưßng x = 0, nó = 0, x + nó = 3.

Ví dụ. Tính tích phân nhị lớp ( 22 )

D

 x  nó dxdy , vô cơ D số lượng giới hạn bái những đưßng nó = x, nó = x +1, nó = 1,

y = 3. ĐS : 14

Ví dụ. Tính tích phân nhị lớp 2

D

 nó dxdy , vô cơ D xác lập bái:

2 1 3

y x y y

ü  ý þ  Ví dụ. Tính tích phân nhị lớp ( 1)

D

 nó  dxdy , vô cơ D xác lập bái : xy  1; x  nó ; x  3.

Tóm l¿i : Nguyên tắc chung: - Việc tính tích phân nhị lớp được trả về tính chất nhị tích phân xác lập theo thứ tự theo đuổi từng đổi mới số. - Khi tính tích phân theo đuổi đổi mới số này thì coi đổi mới số sót lại như hằng số. - Thứ tự động ghi chép những tích phân xác lập và cận của bọn chúng tùy theo cơ hội xác lập miền lấy tích phân. - Các tích phân được xem theo đuổi trật tự kể từ nên quý phái trái khoáy. Khi những tính phân song lập cùng nhau thì rất có thể tính bọn chúng đồng thời.

d

c

x = x x = x 2 (y) 1 (y)

x = x 1 (y)

Xem thêm: de thi van lop 8 hoc ki 2

x = x 2 (y)

d

c