Bạn ý muốn giải được những bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia những đa thức, thay đổi biểu thức tại cung cấp học trung học cơ sở và trung học phổ thông thì các bạn cần nắm rõ được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ như bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng nhì lập phương với hiệu nhị lập phương. Để bài viết liên quan về những hằng đẳng thức này, chúng ta cùng mày mò qua bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: A bình cộng b bình


Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

*

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng sẽ bởi bình phương của số thứ nhất cộng nhị lần tích của số đầu tiên và số đồ vật hai, tiếp đến cộng cùng với bình phương của số thứ hai.

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Ví dụ:

a) Tính ( a + 2)2.

b) Viết biểu thức x2+ 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.

Lơi giải:

a) Ta có: ( a + 2)2= a2+ 2.a.2 + 22 = a2 + 4a + 4.

b) Ta có x2+ 4x + 4 = x2+ 2.x.2 + 22 = ( x + 2 )2.

2. Bình phương của một hiệu

Bình phương của một hiệu sẽ bởi bình phương của số trước tiên trừ đi nhì lần tích của số thứ nhất và số sản phẩm hai, tiếp đến cộng với bình phương của số máy hai.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ví dụ: Tính (3x -y)2

Ta có: (3x -y)2 = (3x)2 – 2.3x.y + y2 = 9x2 – 6xy + y2 

3. Hiệu của nhị bình phương

Hiệu nhị bình phương hai số bằng tổng hai số đó, nhân với hiệu hai số đó.

a2 – b2 = (a-b)(a+b)

Ví dụ: Tính (x – 2)(x +2)

Ta có: (x – 2)(x +2) = x2 – 22 = x2 – 4

4. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng nhị số bằng lập phương của số thiết bị nhất, cộng với cha lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thiết bị hai, cộng với bố lần tích số đầu tiên nhân cùng với bình phương số trang bị hai, rồi cộng với lập phương của số sản phẩm công nghệ hai.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ví dụ: Tính: (2x2+3y)3

(2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

5. Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu nhị số bằng lập phương của số trang bị nhất, trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thiết bị hai, cộng với ba lần tích số đầu tiên nhân với bình phương số thiết bị hai, sau đó trừ đi lập phương của số trang bị hai.

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Ví dụ: Tính (x – 3)3

(x – 3)3 = x3 – 3.x2.3 + 3.x.32 – 33 = x3 – 9x2 + 27x – 27

6. Tổng hai lập phương

 Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của nhì số đó, nhân với bình phương thiếu của hiệu nhị số đó.

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích x3 + 64

x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)

7. Hiệu nhị lập phương

Hiệu của nhì lập phương của hai số bằng hiệu nhị số đó nhân cùng với bình phương thiếu thốn của tổng của nhì số đó.

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Ví dụ:

a, Tính 53– 23.b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) bên dưới dạng hiệu nhì lập phương

Hướng dẫn:

a) Ta có: 53– 23= ( 5 – 2 )( 52 + 5.2 + 22 ) = 3.39 = 117.b) Ta tất cả : ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) = x3 – (2y)3 = x3 – 8y3.

Hệ trái hằng đẳng thức

Ngoài ra, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trên thì họ còn gồm hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường thực hiện trong khi đổi khác lượng giác minh chứng đẳng thức, bất đẳng thức,…

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab(a – b)2 = (a + b)2 – 4aba2 + b2 = (a + b)2 – 2ab(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc(a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2ac – 2bc

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)a3 – b3 = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a -b)(b – c)(c – a)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b +c)(c + a)

Hệ quả tổng quát

an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…+ a2bn-3 – a.bn-2 + bn-1)an – bn =(a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 +…+ a2bn-3 + abn-2 + bn-1)

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc

Các dạng bài bác tập 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá chỉ trị của các biểu thức.

Tính cực hiếm của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 trên x = -1

Lời giải.

Ta gồm : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2 = (-3)2 = 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

Dạng 2: chứng tỏ biểu thức A cơ mà không phụ thuộc biến.

Ví dụ: chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

Lời giải.

Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào vào biến x.

Dạng 3: Áp dụng nhằm tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất với giá trị lớn số 1 của biểu thức.

Ví dụ: Tính giá chỉ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

Ta gồm : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 giỏi A ≥ 4

Vậy giá bán trị nhỏ tuổi nhất của A = 4, dấu “=” xẩy ra khi : x – 1 = 0 tuyệt x = 1

⇒ tóm lại GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

Dạng 4: chứng tỏ đẳng thức bằng nhau.

Ví dụ: Tính giá bán trị lớn số 1 của biểu thức: A = 4x – x2

Lời giải:

Ta bao gồm : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x

⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4

⇔ A ≤ 4 lốt “=” xẩy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

⇒ kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

Dạng 5: chứng tỏ bất đẳng thức

Ví dụ: chứng tỏ đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Lời giải:

Đối với dạng toán này bọn chúng ta chuyển đổi VT = VP hoặc VT = A với VP = A

Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy :(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6: Phân tích nhiều thức thành nhân tử.

Xem thêm: Bài Tập Toán Lớp 1 Học Kỳ 2 Theo Tuần Lớp 1 Học Kì 2, Bài Tập Toán Lớp 1 Học Kỳ 2

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

Lời giải:

Ta gồm : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 bao gồm dạng hằng đẳng thức>

= (x2 – 4x + 4) – y2

= (x – 2)2 – y2

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x

= x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

Dạng 7: Tìm quý hiếm của x

Ví dụ:Tìm quý giá củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

Lời giải.

x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

Hy vọng cùng với những kỹ năng về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và những dạng bài tập thường gặp mặt mà cửa hàng chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp bạn áp dụng vào bài xích tập nhé